数理统计二（概率论）

一，条件概率
1. 概念
事件A已发生的条件下事件B发生的概率。（记为P(B|A)）
2. 定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0，称 $P(B/A) = \frac{ P(AB) }{ P(A)}$为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

二，乘法定理
1、定义：设P(A)>0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)称 为乘法公式。
2、推广：P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

三，全概率公式和贝叶斯公式
1、样本空间的划分
（1）定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件。若
（Ⅰ） BiBj=ф，i≠j,i,j=1,2,…,n;
（Ⅱ）B1∪B2 ∪ … ∪ Bn=S
则称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分。
（2）举例：设试验E为“掷一颗骰子观察点数”，它的样本空间为 S={1,2,3,4,5,6}。 E的一组事件B1={1,2,3}， B2={4,5}， B3={6}是S的一个划分。
2、全概率公式
（1）定义：设试验E的样本空间S，A为E的事件，$B1,B2,…,Bn$ 为S的一个划分，且 $P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，$ 则
$P(A)=P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+…+ P(A|Bn)P(Bn)$
则称以上为全概率公式
3. 贝叶斯公式
（1）定义：设试验E的样本空间S，A为E的事件，B1,B2,…,Bn为S的一个划分，且 P(A)>0，P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，则

$$P(B_i | A) = \frac{ P(A | B_i)P(B_i) }{ \sum_{j=1}^nP(A | B_j)P(B_j)}$$
则称以上为贝叶斯公式。

四，两事件独立
定义1 设A、B是两事件，若满足等式
P(AB)＝P(A)P(B)
则称事件A与B相互独立。
定理一：设A、B是两事件，且P(A)>0.若A、B相互独立则 P(B)＝ P(B|A)；反之亦然。
定理二：若事件A与事件B相互独立，则下列各对事件也相互独立。
A与$\overline B$，$\overline A$与 B，$\overline A$与$\overline B$

五，三个事件独立
定义2 设A、B、C是三个事件，若满足等式
$P(AB)＝P(A)P(B)$
$P(BC)＝P(B)P(C)$
$P(AC)＝P(A)P(C)$
$P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)$
则称事件A、B、C相互独立。