Robotics: Aerial Robotics（空中机器人）笔记（六）:无人机运动规划

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于 2022-04-14 16:04:58 首次发布

本文探讨了四旋翼无人机在三维环境中的运动规划，通过欧拉-拉格朗日方程解决动力学系统的轨迹优化问题。从最小速度、最小加速度到最小jerk轨迹的求解过程被详细阐述，同时引入了障碍物规避的约束条件，展示了如何在存在障碍的情况下规划平滑轨迹。此外，还介绍了线性化模型在四旋翼无人机控制中的应用。

在之前的学习中我们已经讨论了如何根据给定轨迹对四旋翼进行控制，在这一章里，我们将探索四旋翼无人机在三维空间中的运动规划，即给定一个三维的环境，我们希望能够在这个三维环境中指定具体的点，进而让四旋翼无人机在这个环境中规划出无障碍的轨迹路线。

上一章链接：

Robotics: Aerial Robotics（空中机器人）笔记（五）:无人机在二维平面以及三维空间中的PD运动控制

时间、运动和轨迹（Time, Motion and Trajectories）

首先我们先考虑相对简单的子问题，其描述如下，假设目标是某刚体，该目标需要从起始位置移动到目标位置（我们也会关注其运动的方向），且在这个问题中，，刚体可能需要经过一些中间位置：

由于四旋翼无人机是一个动力学系统，也就是其运动状态是没办法突变的（例如速度没办法从1 m/s突变到3 m/s，需要有一个加速度），所以四旋翼无人机的轨迹是需要光滑的，这一要求常常被转化为最小化输入的变化率，我们将在后续继续讨论这个问题。

我们会特别关注动力学系统的阶数，如果用运动学模型来考虑某机器人，也就是说我们可以任意指定速度的话，这就是一个一阶系统。如果是二阶动力学的机器人，这意味着可以任意指定加速度，对于三阶系统的话对应的是加速度的导数，称之为 jerk，四阶就是 jerk 的导数 snap，系统的阶数将决定输入的类别，如果是 n 阶系统，就是在指定位置（惯性系坐标）的第 n 阶导数。

欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）

一般来说，从一阶到 n-1 阶导数都有相应的边界条件，为了解决这个问题我们将使用变分法（Calculus of variations）这一工具。如下式所示， $x^{*}(t)$ 称之为泛函数，泛函数是函数的函数，即它的输入是函数，输出是实数，而这个输出值取决于一个或多个函数（输入）在一整个路径上的积分， $L$ 是一个被积的函数。变分法的目标是通过选择被积函数来最大化或最小化泛函数的值，这里我们是用来最小化 $x^{*}(t)$ 的值，即使其取极小值：

当泛函数取极值时，被积函数应当满足欧拉-拉格朗日方程，欧拉-拉格朗日方程包括被积函数对 $x$ 和 $\dot{x}$ 的偏微分项和以及对时间 $t$ 的全微分项：

其详细证明可以在以下链接找到，这里就不多做解释了：

【变分计算1】欧拉-拉格朗日方程

求解光滑轨迹（Smooth Trajectories）

我们来考虑一个欧拉-拉格朗日方程的最简单的应用，考虑一个一阶的系统，即输入的是位置的一阶导数（速度），指定在时间 $t=0$ 的时候的位置是 $x_0$ ，时间 $t=T$ 的时候的位置是 $x_T$ ，目标是让速度的平方经过整个轨迹的积分最小。

如果我们采用欧拉-拉格朗日方程，让函数 $L$ 为速度的平方，那么欧拉-拉格朗日方程中第一项对 $\dot{x}^2$ 微分后就是 $2\dot{x}$ ，其再对时间微分就是 $2\ddot{x}$ ，而第二项为0，这是因为函数

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