最小生成树问题(MST)

最小生成树：
  给定一个无向图,如果他的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树,那么这颗树就是生成树.
如果边上有权值,那么使得边权和最小的生成树叫做最小生成树.

Prim(普利姆算法)

  Prim算法和Dijkstra算法十分相近,都是从某个顶点出发,不断的寻找其他顶点.首先,我们先把1号顶点放在一个集合中,此时还剩下n-1个点.然后找到距离这个集合最近的点,加入到集合中,还剩下n-2个点.我们可以一直重复这样的过程直到所有的点都选到了集合中.此时,我们就得到了最小生成树.

memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(vis,false,sizeof(vis));
dis[1]=0;
int ans=0;
for(int k=1;k<=n;k++){
    int v=-1;//当前加入的点
    for(int u=1;u<=n;u++){
        if(!vis[u]&&(v==-1||dis[u]<dis[v])){
        //这个点没有被使用过,并且这个点比之前选好的点距离集合要短
            v=u;//更新
        }
    }
    vis[v]=true;//将顶点加入集合
    ans+=dis[v];
    for(int u=1;u<=n;u++){
        if(!vis[u]&&dis[u]>a[v][u])
        //当前点没有使用过并且原来的到达集合的最小值大于v到达当前的最小值
        dis[u]=a[v][u];//更新(以为v新加入到了集合中)(dis表示点到集合的距离)
    }
}

Kruskal(克鲁斯卡尔算法)

  我们把所有的边按照权值大小进行排序,然后遍历这些边,贪心的选择边,选择过的边就加入到同一个集合中,那么我们每次只需要判断每条边对应的两个点是否属于同一个集合,如果属于说明最短的我们已经选出来了,跳过即可.如果不属于同一个集合那么就选择这条边并且把这两个点加入到同一个集合中.

struct Edge{
    int from,to,cost;
    bool operator <(Edge &s)const{
        return cost<s.cost;
    }
}edge[Max_n];

int get_f(int v){//路径压缩
    if(f[v]==v) return v;
    else return f[v]=get_f(f[v]);
}

bool Merge(int m,int n){//判断两个点是否是同一个祖先
    int t1=get_f(m);
    int t2=get_f(n);
    if(t1!=t2){
        f[t1]=t2;
        return true;
    }
    return false;
}

int main(){
     int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&edge[i].from,&edge[i].to,&edge[i].cost);
    sort(edge+1,edge+1+m);
    int ans=0,cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(Merge(edge[i].from,edge[i].to)){
            ans+=edge[i].cost;
            cnt++;
        }
        if(cnt==n-1) break;///当我们选出n-1条边的时候,也就是结束的时候.
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

堆优化的Prim算法

  当我们运用Prim算法的时候,我们可以注意到我们在选择最短的边的时候进行了遍历,然后再去更新所有的边,那么有没有一种方法可以让我们不用遍历的再去寻找最短的边.有个这个思路我们就可以用优先队列来维护最小的距离,先把与1相连的边的信息加入到队列中,然后从中取出元素,如果当前点没有在集合中就加入到集合中,总结果也要有所更新.对于当前点,我们可以找到当前点的所有出边,出边所连接的点如果没有在集合中,我们就把这个边的权值加入到队列中(这一步操作相当于去更新最短的距离).直到队列中没有边为止.

int ans=0;
vis[1]=true;
for(int i=0;i<(int)G[1].size();i++)//将1号点的出边全部送进队列
    q.push(G[1][i]);
while(!q.empty()){
    P p=q.top();q.pop();
    int v=p.second;
    if(!vis[v]){//取出的点没有在集合中
        vis[v]=true;
        ans+=p.first;
    }
    for(int i=0;i<(int)G[v].size();i++){
        P now=G[v][i];
        if(!vis[now.second]){//v所连接的点没有在集合中
            q.push(now);
        }
    }
}