蓝桥杯 历届试题 k倍区间

历届试题 k倍区间  

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    题目链接：http://lx.lanqiao.cn/problem.page?gpid=T444

问题描述

　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, ... AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, ... Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。


　　你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？

输入格式

　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)

输出格式

　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。

样例输入

5 2
1
2
3
4
5

样例输出

6

数据规模和约定

　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 2000ms

　　请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入...” 的多余内容。

　　注意：
　　main函数需要返回0;
　　只使用ANSI C/ANSI C++ 标准;
　　不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
　　所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include <xxx>
　　不能通过工程设置而省略常用头文件。


　　提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

---

题目思路：就是用前缀和来写，注意连续的子序列是指数组中的一段数，不需要排序。

这里用这个图片来表示代码中cnt[]数组的作用 

求k倍区间的个数就涉及到组合数学的知识了，

所以我们已知第三排数组有3个0和3个1的情况下，可以直接用组合数求出来K倍区间的数目：C(3,2)+C(3, 2)=6。C(3, 2)是指从3个物品里取出2个来的组合数。因为有3个0和3个1，所以答案就是C(3, 2)+C(3, 2)。

把上面统计的思路归纳一下，就是：计算前缀和S[0], S[1], S[2], … S[N]。统计S[]中模K余0, 1, 2 … K-1的数量，记为cnt[0], cnt[1], cnt[2] … cnt[K-1]。答案就是：cnt[0]*(cnt[0]-1)/2 + cnt[1]*(cnt[1]-1)/2 +… +cnt[K-1]*(cnt[K-1]-1)/2。

 上代码：

#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
int main()
{
    int n,k;
    long long ans=0;
    map<int,int>cnt;
    int a[100005],s[100001];
    cin>>n>>k;
    s[0]=0;
    cnt[0]=1;//前缀和里有1个0
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        s[i]=(s[i-1]+a[i])%k;
        cnt[s[i]]++;
    }
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        ans+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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