卡特兰数

卡特兰（Catalan）数来源于卡特兰解决凸$n+2$边形的剖分时得到的数列，在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等方面都会有其不同侧面的介绍．卡特兰问题的解决过程应用了大量的映射方法，堪称计数的映射方法的典范．为了便于读者理解，我们先介绍一些卡特兰问题的简单变形，再介绍卡特兰问题及其解法．

问题一 进出栈

栈是一种先进后出（FILO，First In Last Out）的数据结构．
那么一个足够大的栈的进栈序列为时有多少个不同的出栈序列？

首先，每一种进出栈的顺序都与出栈序列一一对应,如果我们用push,用pop表示进栈，表示出栈，那么出栈序列231对应的进出栈顺序
（push,push,pop,push,pop,pop)

那么对个n数的序列，总的进出栈序列有$c(n,2n)$种。是这样吗？

答案是否定的，这是因为出栈的前提是有进栈动作，于是要求每个排列中的前若干项和均不为负数，也就是说排列
是无效的．

那么无效的排列到底有多少呢？

卡特兰递推式