二叉树

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本文详细介绍了树和二叉树这两种基本的数据结构。首先，我们探讨了树的概念、特性以及表示方法，包括其非线性特征和链式存储。接着，深入解析了二叉树的定义、五种结构类型、特殊形式如满二叉树和完全二叉树，以及二叉树的存储结构。最后，讲解了二叉树的遍历方法，包括前序、中序和后序遍历。

1. 树

1.1 树的概念与结构

树是一种非线性的数据结构，由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。

一棵有N个结点的树有N-1条边
每个节点可有0或多个子结点
每一个非根结点有且只有一个父结点

相关定义
- 根结点：没有父结点的结点
- 叶结点：没有子结点的结点
- 兄弟结点：具有形同父结点的结点
- 结点的度：一个节点含有的子树的个数
- 树的度：树中最大的结点的度
- 树的高度/深度：树种结点的最大层次
- 森林：由m(m>=0)棵不相交的树的集合
1.2 树的表示

可以使用链表表示，每个结点都保存值、该结点的第一个孩子结点以及同一层的下一个兄弟节点。

采用链式存储。

2. 二叉树

2.1 概念

二叉树要么为空，要么是只有两棵称为左子树和右子树的二叉树的树。

特点
- 二叉树中每个结点最多有两棵子树
- 二叉树是有序树
2.2 二叉树的5种结构
- 空树
- 没有任何子树的二叉树
- 只有左子树的二叉树
- 只有右子树的二叉树
- 既有左子树又有右子树的二叉树
2.3 特殊的二叉树
- 满二叉树
  - 每一层的结点数都达到最大值的二叉树
  - K层的二叉树，有(2^k)-1个结点
  - 是一种特殊的完全二叉树，满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树
- 完全二叉树
  - 在满二叉树的基础上，从后依次删除结点
2.4 二叉树的存储结构
- 顺序结构存储
  - 使用数组来存储，只适合表示完全二叉树（否则会有空间浪费）
- 链式结构存储
  - 用链表来表示一棵二叉树，每个结点都包含数据以及左右指针3部分。
2.5 链式结构的实现
- 2.5.1 树的遍历
  - 遍历
    - 指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。
  - 遍历方式
    - 深度遍历
      - 前序
        根左子树右子树
      - 中序
        左子树根右子树
      - 后序
        左子树右子树根
      - 详解
    - 广度遍历
      - 层序遍历
      - 详解
- 2.5.2. 注意
  - 前序、后序便于找根
  - 中序便于切分左右子树

/**
 * 树
 * Author:qqy
 */
public class Tree {
    private static class Node {
        char value;
        //左子树
        Node left;
        //右子树
        Node right;

        Node(char v) {
            this.value = v;
        }
    }
    // 当树是空树，node = null;

    /**
     * 求二叉树结点的个数
     *
     * @param root
     */
    private static int count = 0;

    //遍历思想:定义一个变量用于计数，然后后序遍历
    private static void countByTraversal(Node root) {
        if (root != null) {
            countByTraversal(root.left);
            countByTraversal(root.right);
            count++;
        }
    }

    //递归思想：总的结点个数=左子树结点个数+右子树结点个数+1
    //终止条件：空树 0；一个子结点的树 1(可选)
    private static int count(Node root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        } else {
            int left = count(root.left);
            int right = count(root.right);
            return left + right + 1;
        }
    }

    /**
     * 求二叉树叶子节点的个数
     * 递归思想：总的叶结点个数=左子树叶结点个数+右子树叶节点个数
     * 终止条件：空树 0；没有左子树与右子树 1
     *
     * @param root
     * @return
     */
    private static int leafCount(Node root) {
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(root.left==null&&root.right==null){
            return 1;
        }
        return leafCount(root.left)+leafCount(root.right);
    }

    /**
     * 二叉树的高度
     * 递归思想：二叉树的高度=左子树的高度与右子树的高度的最大值+1
     * 终止条件：空树的高度为0
     *
     * @param root
     * @return
     */
    private static int height(Node root) {
        if(root==null){
            return 0;
        }
        return (height(root.left)>height(root.right)?height(root.left):height(root.right))+1;
        //优化
//        return java.lang.Math.max(height(root.left),height(root.right))+1;
    }

    /**
     * 第k层的结点数
     * 递归思想：根结点的第k层的结点数=根结点左子树的第k-1层的结点数+根结点右子树的第k-1层的结点数
     * 终止条件：空树 0；第1层 1
     *
     * @param root
     * @param k
     * @return
     */
    private static int kLevel(Node root, int k) {
        if(root==null){
            return 0;
        }
        if(k==1){
            return 1;
        }
        return kLevel(root.left,k-1)+kLevel(root.right,k-1);
    }

    /**
     * 在二叉树中查找一个值，找到，返回结点；未找到，返回null
     * 递归思想：先查看根结点，没有则查看左子树，还没有查看右子树
     * 终止条件：根结点等于给定值，返回根结点
     * @param root
     * @param v
     * @return
     */
    private static Node find(Node root, char v) {
        if(root==null){
            return null;
        }
        if(root.value==v){
            return root;
        }
        Node r=find(root.left,v);
        if(r!=null){
            return r;
        }
        //根结点和左子树都没有，不论右子树中有没有都返回查找右子树的返回值
        return find(root.right,v);
    }
}