求排列的逆序数(分治)

一、题目描述

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描述

在Internet上的搜索引擎经常需要对信息进行比较，比如可以通过某个人对一些事物的排名来估计他（或她）对各种不同信息的兴趣，从而实现个性化的服务。

对于不同的排名结果可以用逆序来评价它们之间的差异。考虑1,2,…,n的排列i1，i2，…，in，如果其中存在j,k，满足 j < k 且 ij > ik， 那么就称(ij,ik)是这个排列的一个逆序。

一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列 263451 含有8个逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此该排列的逆序数就是8。显然，由1,2,…,n 构成的所有n!个排列中，最小的逆序数是0，对应的排列就是1,2,…,n；最大的逆序数是n(n-1)/2，对应的排列就是n,(n-1),…,2,1。逆序数越大的排列与原始排列的差异度就越大。

现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。

输入

第一行是一个整数n，表示该排列有n个数（n <= 100000)。
第二行是n个不同的正整数，之间以空格隔开，表示该排列。

输出

输出该排列的逆序数。

样例输入

6
2 6 3 4 5 1

样例输出

8

解题思路：

1.将数组分成两部分，分别对求出左半边的逆序数和右边得逆序数（这里用到了分治得思想，运用递归对数组进行分割，最后每边只剩下一个数，简化了操作。递归语句第一条（快速排序里的MergeSortcount(a,s,m,tmp);调用），是在初始数组得左边进行操作，所以这一步已经实现了求左半边的逆序数。同理右边也一样。）

2.再算右多少逆序是由左半边取一个数和右半边取一个数构成（因为这是在分治基础上进行的操作，所以第一步进行完，左边和右边都已经是有序的了，同第一步操作一样，即实现了第二步操作。）

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll cnt = 0;
void Merge(ll a[],int s,int m,int e,ll tmp[])
{
    int pb = 0;
    int p1 = s;
    int p2 = m+1;
    while(p1 <= m&&p2 <= e)
    {
        if(a[p1]<=a[p2]){
            tmp[pb++] = a[p1++];
        }
        else{
            tmp[pb++] = a[p2++];
            cnt += (m-p1+1);
        }
    }
        while(p1 <= m){
            tmp[pb++] = a[p1++];
        }
        while(p2 <= e){
            tmp[pb++] = a[p2++];
        }
        for(int i = 0;i < e-s+1;i++){
            a[s+i] = tmp[i];
        }
}

void MergeSortcount(ll a[],int s,int e,ll tmp[])
{
    if(s<e)
    {
        int m = s + (e-s)/2;
        MergeSortcount(a,s,m,tmp);
        MergeSortcount(a,m+1,e,tmp);
        Merge(a,s,m,e,tmp);
    }
}
int main()
{
    int n;
    long long a[100010],b[100010];
    cin>>n;
    for(int i = 0;i < n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    MergeSortcount(a,0,n-1,b);
    cout<<cnt;
    return 0;
}