二分查找 & 二分答案 详解 & 例题

最新推荐文章于 2025-07-11 19:18:29 发布
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#OI #二分 #知识点

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二分查找

基础思想

对于一个 (非严格)单调 序列，我们可以采用二分查找的方法在 O ( l o g 2 n ) 内 O(log_2n)内 O(log2​n)内寻找出某个元素的位置。
一般的代码是：

//对于非升序列A
int l = 1, r = n;
while(l <= r) {
	int m = (l + r) / 2;
	if(A[m] == k) {
		ans = m;
		break;
	}
	if(A[m] < k) 
		l = m + 1;
	else r = m - 1;
}

写二分时，最麻烦的不是其本身，还是初始边界（l、r的初始值的确定）和结束条件（while的括号里的内容），这些需要我们多加考虑。多测试，多手玩，就不会出错。

例题

这玩意没啥例题

二分答案

具体过程

二分答案和二分查找很像，当答案有单调性时可以使用它。
具体代码

//对于答案有非升的单调性
//即对于m答案成立的话，（1~m-1）一定成立
int l = 1, r = n;
while(l <= r) {
	int m = (l + r) / 2;
	if(check(m)) {
		ans = m; 
		l = m + 1;
	}
	else r = m - 1;
}

类似地，考虑边界与l、r的变化！多测试，多手玩！

二分答案例题

LGOJ P1182 数列分段 Section II
LGOJ P1462 通往奥格瑞玛的道路
LGOJ P2678 跳石头
LGOJ P3957 跳房子

【剑指offer】——二分查找相关例题总结
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04-06 3853
一、旋转数组的最小值 二、在排序数组中查找数字 题目一：数字在排序数组中出现的次数 题目二：0~n-1中缺失的数字 题目三：数组中数值和下标相等的元素
二分查找模板详解
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09-30 3223
这里写自定义目录标题二分查找1 确定左右边界2 确定中间元素3 判断目标元素与中间元素关系，缩小搜索空间 二分查找 二分查找主要是用于来一个有序区间内找到符合条件的数，每一次都选择中间的数进行判断然后将搜索空间减半。 举个例子，我们需要在1-8内搜索数字2，那么首先假设左面边界为1，右面边界为8，然后找到中间的元素和我们的目标元素作比较 中间元素4&gt;3，这个时候需要将右边界移动到mid-1的位置 这样就将原来的搜索空间减半，只需要在1-3这个区间内进行搜索即可，再次搜索之后就能够查找到元素2。 需
二分查找法相关例题讲解
cug_cxy的博客
08-25 1274
相信大家在刷题过程中经常会遇见使用二分查找法处理问题的时候，二分查找分本身的思想并不难，相信大家也都能掌握，但是对于循环退出的条件，以及边界的处理上可能会存在些许的疑问，我通过leetcode上面的几道经典的二分查找法例题来帮助大家巩固这方面的知识。 举具体的例题之前，先和大家分享下二分查找的一些细节。 1、写之前先确定好左右边界的闭合情况，其实无论是左闭右开或者左闭右闭都是可以的，当为左闭右开时，数组的长度是[0,size)。当为左闭右闭时，数组的长度是[0,size-1)。其中的size是数组元素的
二分查找【各种题型+对应LeetCode习题练习】
2301_79609207的博客
07-11 1331
二分查找是一种在有序集合中查找目标值的算法，核心思想是每次把区间一分为二，逐步缩小查找范围。
二分答案——简单题
dengqiao2441的博客
05-23 229
一、何时可以使用“二分答案” 不是任何题目都适合使用“二分答案”的，我Sam观察到一般有以下的一些特征： A. 候选答案必须是离散的，且已知答案的范围是：[最小值min, 最大值max]（连续区间上不能进行二分操作） 例如，在题目“Kth Largest 第k大的数”中 ==&gt; 答案是闭区间[a[1]b[1], a[n]b[n]]上的...
二分查找 & 二分答案 万字详解，超多例题，带你学透二分。
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很多人对二分很困惑，可能二分的边界很难掌握，也许是判断条件难写... 很幸运，你找到了这篇文章，仔细看下去，这篇文章将带你**学透二分**！！！
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http://www.51nod.com/Challenge/TopicProblemList.html#topicId=291 二分答案思路就是先确定好答案的范围，一般越大越好，去个left为答案的最小取值，right为答案的最大取值 然后二分，，同时判断当前状态时候满足答案，如果满足的话，还要考虑是否为最优的选择。 如题目： 工厂里面，有n根待加工的铁棒，长度以米为单位，精确...
二分查找 &amp; 二分答案 万字详解，超多例题，带你学透二分
09-22
二分查找，也称为折半查找，是一种在有序...通过本文的万字详解和丰富的例题，相信你已经对二分查找和二分答案有了深入的理解。接下来，不妨自己动手实践，将理论知识转化为实际技能，这样就能更好地应对各种编程挑战。
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08-29
java算法之二分查找法的实例详解 本文主要介绍了java算法之二分查找法的实例详解，包括二分查找法的原理、Java实现、时间复杂度等相关内容。 一、原理 二分查找法的原理是基于有序数组的查找算法，假定查找范围为...
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二分法例题 1. 二分法是一种快速寻找元素的方法，但又不是一种单纯的快速寻找的方法，其寻找的元素是需要一个单调有序的元素，所以在题目中如果遇到了需要排序然后寻找的，我们可以首要考虑二分法，前提是对于世界没有要求，二分法可以很迅速的找到我们所找到的元素。 二分法的实现方式是： 先将一串元素分为左右两部分，然后用中间值与所需值比较，若中间值较小，那么便取中间值与右边的边界的中间值，继续与所需值比较。...
二分答案例题
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1.奇怪的函数 https://www.luogu.com.cn/problem/P2759 这道题好像没有什么方法可以巧妙地解决问题，所以想到枚举答案。 但面临枚举会想到二分答案（更快），判断： 1.二分性：找到一个答案，如果小了，没达到，就往后找，如果大了，已达到，就往前找。直到找到最优答案 2.如何判断： 首先要知道： 所以判断数位就可以转为判断x*log10(x)&gt;=(n-1) 代码 注意点： 1.边界：从1到答案可能出现的最大值即（2e9） 2。二分不能l=r,因为当l=r，mid=l=r
二分查找（附例题）
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05-22 1348
二分查找： 二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。值得注意的是折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。 大家回忆一下如何在一本词典里查找一个单词，查找单词的过程与二分查找的思路几乎是相同的。 我们在字典（单词按照“字典序”进行排序的）中查找单词，假设字典页数一共200页。第一步都是翻到字典的中间页100页，然后再判断是该单词出现在该页，又或者出现在字典的前面还是后面。若是前面则翻到字典的50页（取半），若是后面则翻到字典的150页，.
二分答案 例题 题解
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话说今天是1024程序员节？？？ 和我这个中学生有关吗 有，我要发表技术。 题目：传送门 二分先坐车的人下车的位置。 code by lmrttx language：c++ #include&lt;iostream&gt; #include&lt;cstdio&gt; #include&lt;cmath&gt; double s,s1,s2,vren,vche,t1,t2,mid,a,b; int main() { scanf("%lf%lf%lf",&amp;s,&amp;vren,&amp;vche)
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二分法（Bisection method） 即一分为二的方法. 设[a，b]为R的闭区间. 逐次二分法就是造出如下的区间序列([an，bn])：a0=a，b0=b，且对任一自然数n，[an+1，bn+1]或者等于[an，cn]，或者等于[cn，bn]，其中cn表示[an，bn]的中点。
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二分查找&amp;&amp;三分法 二分查找的优点显而易见，这个太节省时间了；因为很多其他类型的题目，题目的复杂会比较高，不管是时间复杂度也好，还是空间复杂度也好，有了二分查找的帮助，至少不会让已经很复杂的程序更雪上加霜，为我们ac题目提供了一点帮助。 在学习二分查找这段时间，很明显的感觉到，这个确实是一个比较直接比较简单的一部分，不像前面的背包，背包问题真的是花样太多了。 下面，简单总结一下二分查找。 二分查找 在一个单调有序的集合中查找元素，每次将集合分为左右两部分，判断解在哪个部分中并调整集合上下界，
【算法•日更•第二十四期】二分查找和二分答案的区别
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▎前置技能 　　二分（戳这里了解）和分治（戳这里了解）。 ▎前言 　　想必你已经学会了二分，但是你真的知道二分查找和二分答案的区别吗？ ▎二分 ☞『二分查找定义』 　　二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。（copy自百度） 　　说白了就是用来查找一个元素是...
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导读 二分查找作为程序员的一项基本技能，是面试官最常使用来考察程序员基本素质的算法之一，也是解决很多查找类题目的常用方法，它可以达到O(log n)的时间复杂度。 一般而言，当一个题目出现以下特性时，你就应该立即联想到它可能需要使用二分查找： 待查找的数组有序或者部分有序 要求时间复杂度低于O(n)，或者直接要求时间复杂度为O(log n) 二分查找有很多种变体，使用时需要注意查找条件，判断条件和左右边界的更新方式，三者配合不好就很容易出现死循环或者遗漏区域，本篇中我们将介绍常见的几种查找方式的模板代码
c++二分查找与二分答案的异同并举例题分析
最新发布
07-26
&lt;think&gt;我们被要求讨论C++中二分查找与二分答案的区别与联系，并通过例题进行分析。 根据引用[2]：二分查找只是单纯的查找，而二分答案则更复杂一些。二分查找通常用于在有序数组中查找特定元素，而二分答案通常用于解决最优化问题（如最大值最小、最小值最大等）。 区别与联系： 1. 二分查找（Binary Search）： 目的：在一个有序数组中查找某个特定元素是否存在，或者找到该元素的位置（包括第一个出现、最后一个出现等变种）。 核心：通过不断将搜索范围减半来快速定位目标。 关键：控制边界条件，避免死循环。通常有两种模板（闭区间和开区间）以及两种边界处理方式（如查找第一个大于等于target的位置，或最后一个小于等于target的位置）。 2. 二分答案（Binary Search on Answer）： 目的：解决最优化问题，即在一个答案范围内（通常答案具有单调性）通过二分法来快速找到最优解（如满足条件的最大值或最小值）。 核心：将问题转化为判定问题（即给定一个答案mid，判断它是否可行）。通过二分这个答案范围，不断缩小区间直到找到最优解。 联系：二分答案可以看作是二分查找的一种应用，它是在一个连续的答案区间（而不仅仅是数组索引）上进行二分查找。 例题解析： 例1：二分查找（查找第一个大于等于x的位置） 引用[1]中给出了一个闭区间二分查找的例子：在数组中查找第一次大于等于元素target的位置。 代码（参考引用[1]）： int l = 0, r = n-1; // 闭区间 [l, r] while (l &lt;= r) { int mid = l + (r - l) / 2; if (arr[mid] &gt;= target) { r = mid - 1; // 尝试继续向左找 } else { l = mid + 1; } } // 最后l指向第一个大于等于target的位置 但引用[1]中提到的另一种写法（模板1）： while (l &lt; r) { int mid = (l + r) &gt;&gt; 1; if (check(mid)) r = mid; // 如果mid满足条件，则答案在mid左边（包括mid） else l = mid + 1; } // 结束时l==r，即为答案 例2：二分答案（奶牛晒衣服问题，洛谷P1843） 引用[4]中给出了一个二分答案的例题：奶牛晒衣服。 问题描述：有n件衣服，每件衣服有湿度c[i]。自然风干每秒减少a点湿度，使用烘干机每秒减少b点湿度（烘干机一次只能烘一件）。问最少需要多少秒（记为x）可以让所有衣服都干（湿度&lt;=0）？ 分析：我们可以二分答案x（即时间），然后判断在x秒内是否能让所有衣服干。 判定函数check(x)： 对于每件衣服，自然风干x秒可以减少a*x点湿度。如果剩余湿度&lt;=0，则不需要使用烘干机。 否则，剩余湿度为c[i] - a*x，这部分需要用烘干机来烘干。由于烘干机每秒减少b点，那么需要烘干的时间为 ceil((c[i]-a*x)/b)（向上取整）。 然后计算所有衣服需要烘干的总时间，如果总时间&lt;=x（因为可以同时使用多个烘干机？注意：题目中烘干机一次只能烘一件，但是我们可以多件同时进行，因为有多台烘干机吗？题目没有说，但实际上一台烘干机只能烘一件，所以总烘干时间不能超过x，而且多件衣服可以同时烘，所以要求的是每件衣服烘干时间之和？不对，这里实际上我们同时只能烘一件，所以总时间应该是每件衣服烘干时间的累加？但题目中并没有说有多台烘干机，所以默认只有一台？这样理解的话，那么总烘干时间就是各件衣服烘干时间之和，但是要求这个总和小于等于x？不对，因为一台烘干机在同一时间只能烘一件，所以烘干机的工作时间不能超过x，但是可以同时进行自然风干。所以实际上，我们可以在x秒内，用烘干机烘若干件衣服，只要每件衣服的烘干时间（注意，自然风干同时进行）满足要求，并且烘干机总工作时间不超过x（因为一台烘干机最多工作x秒）？然而，题目中并没有说只有一台烘干机，实际上我们可以认为有足够多的烘干机（或者题目允许任意使用烘干机，但同一时间一台只能烘一件，但我们可以同时使用多台？）题目没有明确，但引用[4]的代码中，是把每件衣服需要烘干的时间分别计算，然后求和，只要总时间&lt;=x，就说明x秒内可以完成。这相当于假设有多台烘干机，可以同时烘多件衣服（因为每件衣服的烘干时间可以叠加，且同时进行）。所以，实际上我们需要的烘干机台数没有限制？那么总烘干时间就是各件衣服需要烘干的时间之和（因为可以同时烘），所以总烘干时间必须&lt;=x。 但是，重新读题：题目中说&ldquo;使用烘干机每秒减少b点湿度（烘干机一次只能烘一件）&rdquo;，这意味着同一时间只能烘一件衣服。那么，如果有多件衣服需要烘干，我们必须顺序使用烘干机？这样总时间就是每件衣服烘干时间之和？那么总时间必须大于等于每件衣服烘干时间之和。然而，在x秒内，我们最多只能使用烘干机x秒（因为一台烘干机只能工作x秒，而且我们只有一台），所以要求每件衣服的烘干时间之和&lt;=x？不对，因为同一时间只能烘一件，所以烘干机总工作时间就是各件衣服烘干时间的累加，所以要求这个累加和&lt;=x。 因此，check(x)函数： 对于每件衣服i，计算自然风干x秒后剩余的湿度：c[i] - a*x。 如果&lt;=0，则不需要烘干。 否则，需要烘干的时间为 ceil((c[i]-a*x)/b)（因为烘干机每秒减少b点湿度）。 然后，计算所有衣服需要烘干的时间总和，如果总和&lt;=x，则x秒可行。 然后我们二分x，找到最小的x使得check(x)为真。 引用[4]的代码： bool check(int x){ int sum=0;//使用洗衣机的总时间 for(int i=1;i&lt;=n;i++){ if(c[i]&lt;=x*a) continue;//能自然晾干 else{//使用洗衣机 if((c[i]-x*a)%b==0) sum+=(c[i]-x*a)/b; else sum+=(c[i]-x*a)/b+1; } } if(sum&lt;=x) return true; else return false; } 注意：这里判断总烘干时间sum是否&lt;=x，因为x秒内，烘干机最多只能工作x秒（即使有多台，但题目没有说，代码中这样处理相当于假设有足够多的烘干机，可以同时烘，所以总时间就是每件衣服烘干时间的最大值？不对，这里代码中计算的是总和，而且题目说一次只能烘一件，所以实际上我们只能顺序烘，那么总时间应该是每件衣服烘干时间的累加？但是，如果我们有足够多的烘干机，那么就可以同时烘，这样总时间就是所有衣服中烘干时间最长的那个？所以这里题目可能有不同的理解。但根据洛谷P1843的题目描述，实际上我们只有一台烘干机，所以必须顺序烘，因此总烘干时间应该是每件衣服烘干时间的累加。但是，在x秒内，我们同时进行自然风干，而烘干机只能烘一件，所以其他衣服在等待烘干时也在自然风干。因此，我们不能简单地将烘干时间累加，因为烘干一件衣服的同时，其他衣服也在自然风干。所以，上述代码中的方法（累加）实际上是不正确的？但为什么能AC呢？ 重新思考：题目中并没有说在烘干一件衣服时，其他衣服不能自然风干。所以，在烘干机工作的同时，自然风干对所有衣服都起作用。因此，我们并不需要顺序烘，而是可以任意安排烘干的时间段（只要总烘干时间不超过x，并且同一时间只能烘一件）。那么，我们实际上需要的是：每件衣服的烘干时间（即烘干机占用时间）可以任意安排在x秒内的任意时间段，同时自然风干一直在进行。所以，对于一件衣服，我们只需要在x秒内分配一些时间段给它用烘干机（总时长为t_i），那么这件衣服减少的湿度为：a*x + b*t_i。要求 a*x + b*t_i &gt;= c[i] =&gt; t_i &gt;= ceil((c[i]-a*x)/b) 当c[i]-a*x&gt;0时。同时，由于烘干机同一时间只能烘一件，所以所有衣服的烘干时间段不能重叠。但是，因为我们可以任意安排时间段（只要不重叠），那么总烘干时间就是所有衣服的t_i之和。而总烘干时间不能超过x（因为只有一台烘干机，最多工作x秒）。所以，要求就是：所有衣服的t_i之和&lt;=x。 因此，上述代码中的累加是合理的。 所以，二分答案的步骤： 1. 确定答案范围：l=0, r=可能的最大时间（比如最大湿度乘以某个系数，或者直接设一个较大的数，如引用[4]中r=N=500010）。 2. while (l&lt;=r) { mid = (l+r)/2; if (check(mid)) { // 如果mid时间可行，则尝试更小的时间 ans = mid; r = mid-1; } else { l = mid+1; } } 3. 输出ans。 总结： 二分查找：在有序数组中查找特定元素，通常直接对数组索引进行二分。 二分答案：在连续的可能答案区间（通常具有单调性）上二分，通过check函数判断当前答案是否可行，从而缩小区间。 联系：二分答案可以看作是在一个虚拟的&ldquo;有序数组&rdquo;（答案范围）上进行的二分查找，这个数组的&ldquo;索引&rdquo;就是连续的数值，而&ldquo;元素&rdquo;是否满足条件由check函数决定。&lt;/think&gt;### C++ 二分查找与二分答案的区别与联系及例题解析 #### **一、核心区别** 1. **目的不同** - **二分查找**：在**有序数组**中快速定位目标值（如查找元素位置、判断是否存在）。 **本质**：通过缩小搜索范围快速定位目标。 **时间复杂度**：$O(\log n)$。 - **二分答案**：解决**最优化问题**（如&quot;最大值最小化&quot;或&quot;最小值最大化&quot;），在**答案范围**内二分搜索最优解。 **本质**：将问题转化为判定问题（给定答案 $mid$，检查是否可行）。 **时间复杂度**：$O(\log R)$，$R$ 为答案范围。 2. **操作对象不同** - 二分查找：直接操作**数组索引**（离散值）。 - 二分答案：操作**连续答案区间**（如时间、长度等连续值）。 3. **核心函数** - 二分查找：比较目标值与 $arr[mid]$。 - 二分答案：依赖 `check(mid)` 函数（用户自定义的可行性判定逻辑）。 #### **二、联系** - **共享二分框架**：两者均通过**缩小区间**逼近结果，代码结构相似（如循环条件、边界更新）。 - **单调性要求**：均要求问题具有**单调性**（数组有序或答案可行性与大小单调相关）。 --- #### **三、例题解析** ##### **例题1：二分查找（查找第一个 $\geq x$ 的位置）** **问题**：在有序数组 `arr` 中找到第一个 $\geq x$ 的索引。 **代码实现**（闭区间模板）： ```cpp int binary_search(vector&lt;int&gt;&amp; arr, int x) { int l = 0, r = arr.size() - 1; while (l &lt;= r) { int mid = l + (r - l) / 2; if (arr[mid] &gt;= x) r = mid - 1; // 满足条件，向左缩小区间 else l = mid + 1; // 不满足条件，向右缩小区间 } return l; // 返回第一个&ge;x的位置 } ``` **关键点**： - 当 `arr[mid] &gt;= x` 时，说明答案在左半区间（包括 $mid$），故更新 $r = mid - 1$。 - 循环结束时 $l$ 即为目标位置[^1]。 --- ##### **例题2：二分答案（洛谷 P1843 奶牛晒衣服）** **问题**：$n$ 件衣服的湿度为 $c[i]$，自然风干每秒减少 $a$ 点湿度，烘干机每秒减少 $b$ 点湿度（一次只能烘一件）。求最小时间 $x$ 使所有衣服湿度 $\leq 0$[^4]。 **分析**： - **答案范围**：$x \in [0, \text{max\_time}]$（如 $[0, 5 \times 10^5]$）。 - **单调性**：若 $x$ 时间可行，则 $\geq x$ 的时间均可行。 - **判定函数**：`check(x)` 计算在 $x$ 秒内，烘干机所需总时间是否 $\leq x$。 **代码实现**： ```cpp bool check(int x, vector&lt;int&gt;&amp; c, int a, int b) { long long sum = 0; // 烘干机总使用时间 for (int i = 0; i &lt; c.size(); i++) { if (c[i] &lt;= (long long)a * x) continue; // 自然风干即可 int remain = c[i] - a * x; // 剩余湿度 sum += (remain % b == 0) ? remain / b : remain / b + 1; // 向上取整 } return sum &lt;= x; // 烘干机总时间&le;x则可行 } int main() { int n, a, b; cin &gt;&gt; n &gt;&gt; a &gt;&gt; b; vector&lt;int&gt; c(n); for (int i = 0; i &lt; n; i++) cin &gt;&gt; c[i]; int l = 0, r = 500000, ans = 0; while (l &lt;= r) { int mid = l + (r - l) / 2; if (check(mid, c, a, b)) { ans = mid; // 记录可行解 r = mid - 1; // 尝试更小时间 } else { l = mid + 1; // 时间不足，需增大 } } cout &lt;&lt; ans &lt;&lt; endl; return 0; } ``` **关键点**： - **`check(mid)` 逻辑**： - 自然风干 $mid$ 秒后，若 $c[i] \leq a \times mid$，无需烘干机。 - 否则需烘干机补充，时间按 $b$ 的倍数向上取整。 - **二分更新**：若 `check(mid)` 为真，说明 $mid$ 可行，尝试更小时间（$r = mid - 1$）；否则增大时间（$l = mid + 1$）[^4]。 --- #### **四、对比总结** | **维度** | **二分查找** | **二分答案** | |----------------|----------------------------------|----------------------------------| | **问题类型** | 有序数据查找 | 最优化问题（如极值问题） | | **操作对象** | 数组索引（离散） | 答案范围（连续） | | **核心函数** | 比较 `arr[mid]` 与目标值 | 自定义 `check(mid)` 判定可行性 | | **模板差异** | 直接比较元素值 | 依赖外部判定函数 | | **典型应用** | 查找元素、边界位置 | 最小值最大化、最大值最小化 | --- ### 相关问题 1. **二分查找中如何避免死循环？** 关键点：确保每次循环区间缩小（如更新 $l = mid + 1$ 而非 $l = mid$），并统一使用闭区间或左闭右开区间[^1][^2]。 2. **二分答案的 `check` 函数设计有哪些技巧？** 需满足：① 单调性；② 高效计算（通常 $O(n)$ 或 $O(n \log n)$）。例如背包问题中判定是否能在某容量内装所有物品。 3. **如何处理二分答案中的边界问题？** 初始化 $l$ 为理论最小值，$r$ 为理论最大值（如 $10^{18}$）。循环结束后 $ans$ 即为最优解[^3][^4]。 4. **二分查找与二分答案在实际问题中的联合应用场景？** 例：先通过二分答案确定&quot;最大间隔&quot;，再用二分查找验证该间隔是否可行（如电缆布置问题）。 [^1]: 二分查找的多种实现方式及本质解析（c++实现 + 例题） [^2]: 二分查找 &amp; 二分答案 万字详解，超多例题，带你学透二分 [^3]: C++ | 二分查找（重点二分答案） [^4]: CSP/信奥赛C++刷题训练：经典二分答案例题（2）：洛谷P1843：奶牛晒衣服
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