2019牛客暑期多校训练营（第八场）D Distance

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本文介绍了一种在三维空间中进行高效查询和更新的算法，通过使用树状数组和哈希技术，解决了在长方体空间上的操作问题。文章详细阐述了如何处理曼哈顿距离最近点查询，以及如何在不同状态下存储和查询点坐标。

题目链接： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/888/D

题意：

现在在一个 $n * m * z$ 的长方体上有两种操作，操作1是要你在这个长方体上多加一个坐标 $(x, y, z)$ ，操作2是查询这个长方体上目前离点 $x_{0},y_{0},z_{0})$ 曼哈顿距离最近的点的距离是多少，即求 $min(|x_{0}-x_{i}|+|y_{0}-y_{i}|+|z_{0}-z_{i}|)$ 。

做法：

我们考虑将三个绝对值拆开的情况。那么我们最后的答案一定是 ① $x_{0}-x_{i})+(y_{0}-y_{i})+(z_{0}-z_{i})$ ，② $x_{0}-(-x_{i}))+(y_{0}-y_{i})+(z_{0}-z_{i})$ , ③ $x_{0}-x_{i})+(-y_{0}-(-y_{i}))+(z_{0}-z_{i})$ … 八种情况中的某一种。

我们就可以把所得到的要添加的点，在树状数组中存下八种状态，那么我们如果要得到最近的点，我们就去八个树状数组中查询小于等于当前值的最大值，做差取最小值即可。

相信可能有的人会和我一开始一样有疑问，为什么只找小于当前值的最大值，大于当前值的最小值不需要吗。其实是不必要的，因为如果要找更大一点的话，一定可以在其他状态里面的某一个值被找到。举个例子，比如坐标 $(1, 2)$ 和 $(2, 2)$ ，在 $(1 + 2) - (2 + 2)$ 中是找不到的，需要找大于它的最小值，但是在 $(- 1 + 2) - (- 2 + 2)$ 的情况下，就会被找到，并且确实是小于它的最大值。三维同理。

哈希是为了保证所有的坐标都有不同的数字表示，这个应该没什么异议，另外我需要解释一下其中的数字为什么要这么取（毕竟一开始也确实困扰了我）。

① 为什么在开始保存的时候要 $x + n, y + m, z + h$ 呢，因为我们枚举到了负的减法情况，在树状数组中会变成负数，这是不可行的，所以我们要都加边界值，同时为了不让其变成0，还要再加1。
② 在哈希的时候为什么要乘上 $2 m$ 还有 $2 h$ 的，这就是哈希的保证， $y$ 出现的时候范围为 $2 m$ ， $z$ 同理。
③ 数据范围的5e6，在极限情况下， $n = 5 e 4, m = 2, z = 1$ 的时候， $n$ 的上限会达到 $5 e 4 * 2 * 2 * ((2 * 2 + 5) + 2) = 4 e 6$ 。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)a;i<=(int)b;i++)
using namespace std;
const int maxn = 5e6+100;
const int inf=0x3f3f3f3f;

int xm[8]={1,1,1,1,-1,-1,-1,-1};
int ym[8]={1,1,-1,-1,1,1,-1,-1};
int zm[8]={1,-1,1,-1,1,-1,1,-1};
void deal(int i,int x,int y,int z,int &nx,int &ny,int &nz){
    nx=x*xm[i]; ny=y*ym[i]; nz=z*zm[i];
}
struct BIT{
    int mx[maxn],n,m,h;
    int g_hash(int x,int y,int z){
        return x*(2*m+2)*(2*h+2)+y*(2*h+2)+z;
    }
    void init(int nn,int mm,int hh){
        n=nn,m=mm,h=hh;
        for(int i=0;i<maxn;i++) mx[i]=-inf;
    }
    int lb(int x){
        return x&(-x);
    }
    void update(int x,int y,int z,int v){
        for(int i=x;i<2*n+5;i+=lb(i)){
            for(int j=y;j<2*m+5;j+=lb(j)){
                for(int k=z;k<2*h+5;k+=lb(k)){
                    mx[g_hash(i,j,k)]=max(mx[g_hash(i,j,k)],v);
                }
            }
        }
    }
    int query(int x,int y,int z){
        int ret=-inf;
        for(int i=x;i;i-=lb(i)){
            for(int j=y;j;j-=lb(j)){
                for(int k=z;k;k-=lb(k)){
                    ret=max(ret,mx[g_hash(i,j,k)]);
                }
            }
        }
        return ret;
    }
} B[8];
int n,m,h,q;
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&h,&q);
    rep(i,0,7) B[i].init(n,m,h);
    while(q--){
        int op,x,y,z;
        scanf("%d%d%d%d",&op,&x,&y,&z);
        if(op==1){
            for(int i=0;i<8;i++){
                int nx,ny,nz;
                deal(i,x,y,z,nx,ny,nz);
                B[i].update(n+nx+1,m+ny+1,h+nz+1,nx+ny+nz);
            }
        }
        else{
            int ans=inf;
            for(int i=0;i<8;i++){
                int nx,ny,nz;
                deal(i,x,y,z,nx,ny,nz);
                ans=min(ans,nx+ny+nz-B[i].query(n+nx+1,m+ny+1,h+nz+1));
            }
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}