可汗学院统计学（二）

最新推荐文章于 2024-07-15 16:20:24 发布

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#统计学

本文深入探讨了泊松分布和正态分布的基本概念与计算方法。泊松分布用于描述单位时间内独立事件发生的概率，如车辆通过路口的情况；正态分布则是一种连续概率分布，广泛应用于自然和社会科学，其概率密度函数由均值和标准差决定。

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6. 泊松分布

考虑这样一个问题：一个小时内经过某路口的车辆数的概率。由于车辆经过一个路口是一瞬间的事，因此，可以把这个问题看成：在n个瞬时中，有k个瞬时有车经过路口的概率。设车经过路口的概率为p，则这个问题是一个n趋近于无穷大时的二项分布问题。

假设已知泊松分布的期望为 $λ\lambda$ 。则 $E(X)=λ=np,p=λnE(X)=\lambda=n p, \quad p=\frac{\lambda}{n}$
计算过程为：
$P(x=k)=lim⁡n→∞(nk)⋅(λn)k⋅(1−λn)n−k=lim⁡n→∞n!k!(n−k)!⋅(λn)k⋅(1−λn)n−k=lim⁡n→∞n⋅(n−1)⋯⋅(n−k+1)nk⋅λkk!⋅(1−λn)n⋅(1−λn)−k=lim⁡n→∞1⋅λkk!⋅e−λ⋅1=λkk!⋅e−λ\begin{aligned} P(\mathrm{x}&=\mathrm{k} ) \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {k}\end{array}\right) \cdot\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k} \cdot\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{k !(n-k) !} \cdot\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k} \cdot\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \cdot(n-1) \cdots \cdot(n-k+1)}{n^{k}} \cdot \frac{\lambda^{k}}{k !} \cdot\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n} \cdot\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{-k} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} 1 \cdot \frac{\lambda^{k}}{k !} \cdot e^{-\lambda} \cdot 1 \\ &=\frac{\lambda^{k}}{k !} \cdot e^{-\lambda} \end{aligned}$

7. 正态分布

正态分布的概率密度函数： $p(x)=1σ2πe−12(x−μσ)2p(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}$
Standard Z score： $x−μσ\frac{x-\mu}{\sigma}$
表示数据离均值的距离是几个标准差。
正态分布可以通过二项分布近似很好地得到。
累计分布函数CDF： $F(x)=\int_{-\infty}^{x} p(x) d x$

最佳打比赛，后续补充。