求任意两个整数的最大公因数

最新推荐文章于 2023-01-16 15:49:53 发布

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分类专栏：大计基习题文章标签：大计基习题

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本文介绍如何使用欧几里得算法通过递归和非递归方法编写程序来求解任意两个整数的最大公因数，并提供了一个具体的C++程序实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

按照欧几里得算法，编写程序，求用户从键盘输入的任意两个整数的最大公因数。

程序的运行结果如下所示：
输入：
120 80
输出：

分析：根据欧几里得算法

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)证明

不妨假设 a>b

则a=k*b+r①

因为gcd是a、b的最大公约数，所以可以设a=gcd(a,b)*m②，b=gcd(a,b)*n③

联立上面的三个式子得gcd(a,b)*m=k*gcd(a,b)*n+r,整理得r=k*gcd(a,b)*n-gcd(a,b)*m,提取公因式得r=gcd(a,b)(n*k+m)

又因为r=a-k*b=a%b,所以gcd(a,b)=gcd(a,a%b)=gcd(b,a%b)

因此程序实现的依据就是

gcd(a1,b1)=gcd(b1,a1%b1)=gcd(a2,b2)=................=gcd(an-1,bn-1)=bn-1 (an-1%bn-1=0时) [或=gcd(an,bn)=an (bn=0时)]

所以我们就可以用两种方法，递归和非递归两种做法来解决这个问题


#include<iostream>
using namespace std;
int gcd(int m, int n)    //递归算法
{
    if (n==0)   return m;
    return (gcd(n,m%n));
}
 
int  gcd2(int m, int n)    //递推算法
{
    while (n>0)
    {
        int tem=n;
        n=m%n;
        m=tem;
    }
    return m;
}
int main()
{
    int a,b,ans,tem;
    cin>>a>>b;
    if (a<b)
    {
        tem=a;
        a=b;
        b=tem;  
    }
    ans=gcd2(a,b);
    cout<<ans;
    return 0;
}