poj-1664（递推）+hdu-2064（递推）+hdu-2048（错排序+递推）

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本文深入探讨递归算法在解决复杂问题中的应用，通过具体案例如POJ-1664、HDU-2064和HDU-2048，详细解析递归的实现方式和背后的数学原理，包括特殊情况处理、递归终止条件和递推公式推导。

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1、poj-1664（递归）

题目链接

思路：递归求解

先判断特殊情况，如果n<m,结果是0

否则，进行递归求解，每次减去一个值，如果小于0，就返回；

如果总和等于m并且不超过n次，就符合条件cnt++。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,cnt;
void f(int res,int num,int tp)
{
	if(res==0)
	{
		cnt++;
		return ;
	}
	if(num==0) return ;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(i>=tp&&res>=i) f(res-i,num-1,i);
	}
}
int main(void)
{
	int k;
	cin>>k;
	while(k--)
	{
		cin>>m>>n;
		if(m<n)
		{
			cout<<0<<endl;
			continue;
		}
		cnt=0;
		f(m,n,1);
		cout<<cnt<<endl;
	}
	return 0;
}

2、hdu-2064（递归）

思路：

n=1，只有一种摆法；n=2，有两种摆法；

n=3，去掉一个就变成n=2的情况，去掉两个就变为n=1的情况

以此类推，F(n)=F(n-1)+F(n-2);

注意：long long类型。

3、hdu-2048（错排问题）

错排问题：

n个有序的元素有n！个不同的排序，如果一个排序使所有元素不在原来的位置上，

称为错排问题。

eg：

序列 1,2的错排个数为1；1,2,3的错排个数为2

1,2,3的错排序列可以视为2,1（1,2的错排序列）与3交换位置得到的（2,1,3；1和2分别于3交换位置得到

3,1,2和2,3,1）。

递推公式：F(n)=(n-1)*(F(n-1)+F(n-2));

证明：

（1）考虑n个元素，把它放到位置k，共有n-1种放法

（2）考虑第k个元素，如果第k个元素放到位置n，就有n-2个元素还没有位置，共F(n-2)种情况；

如果第k个元素不放到位置n，就有n-1个元素还没有位置，共F(n-1)种情况。

所以F(n)=(n-1)*(F(n-1)+F(n-2))。

由容斥原理推出递推公式：D(n) = n! （1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + …… + (-1)^n/n!）。

本题思路：我用想求出所有情况n！，再求出错排序的情况F(n)（我用的递推）。

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
int main(void)
{
	LL a[120],n,t,i;
	a[0]=0;a[1]=0;a[2]=1;
	scanf("%lld",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%d",&n);
		double sum=1.0;
		for(i=2;i<=n;i++) sum*=i;
		for(i=3;i<=n;i++) a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
		printf("%.2lf%%\n",100.0*a[n]/sum);
	}
	return 0;
}