小球碰撞

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题目描述

辗转相除法

扩展欧几里得算法

通解的求法

解法过程（一）

二次函数

解法过程（二）

floor与int

代码 

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题目描述

给出A B C 三个数，现在有X Y 两个数，使得 AX + BY = C

求出 MIN（0.5 * X * X * A + 0.5 * Y * Y * B）；

辗转相除法

首先我们要知道，如何求出X Y；

我们基本的还是要求出一组特解。

首先求特解之前你要了解辗转相除法。

辗转相除法用于求两个数的最大公约数。

我们记这两个数为 a  b，把他们的最大公约数记作 gcd(a，b)

辗转相除法的公式就是 gcd(a，b) = gcd(b，a % b)

我首先就来证明一下上面这个定理。

我们就假设a > b

a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b

k你就可以看成是商，r就是余数。

假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。

而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r

因此d也是b,a mod b的公约数

同理最大公约数在公约数的范围之内，必然gcd(a，b) = gcd(b，a % b)。

知道这个之后，我们还要考虑边界，如果 r 为0时，那么也就表明 a|b ，自然最大公约数就是b了

 

int gcd(int a, int b){
    if(!b) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

扩展欧几里得算法

然后我们就来考虑如何求特解了。这里我们要用到扩展欧几里得算法。

扩展欧几里得算法是用来求 AX + BY = gcd(A，B)

由刚才的辗转相除法知道 gcd(A，B) = gcd(B，A % B)

也就是  BX2 + (A % B)Y2 = gcd(A，B)

则 AX + BY = BX2 + (A % B)Y2

AX + BY = BX2 + (A - [A / B] * B])Y2

将后面的算式去括号，即为 BX2 + AY2 - [A / B] * BY2

也就是 AX + BY = BX2 + AY2 - [A / B] * BY2

后面的算式可以合并，即为 AY2 + B(X2 - [A / B] * Y2)

自然，当 X = Y2 ，Y = X2 - [A / B] * Y2

 上面的等式就成立了！

注意，这里就非常重要了。由于辗转相除法 gcd(a，b) = gcd(b，a % b)中 a，b是交换了位置。

所以其实下一个函数的Y2 = X  Y = X2

所以上面的我们就改成 X = X   Y = Y - X * [A / B]  =>  Y -= X * [A / B