图着色解决赛程安排问题（一）（考虑主客场）

最新推荐文章于 2023-08-01 14:41:15 发布

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分类专栏：图论回溯递归

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41794508/article/details/88925558

本文介绍如何使用图着色方法解决6支球队的赛程安排问题，考虑主客场因素，通过构建无向图模型并采用回溯法进行求解。详细探讨了问题描述、思路分析、算法策略及代码实现，展示了10种颜色下的第一个解，并讨论了颜色数更少时的耗时问题。

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1. 问题描述

足球联盟内有6支球队：秃鹫，雄狮，飞鹰，海狸，猛虎，山猫。秃鹫已经对阵雄狮和飞鹰；雄狮也已经对阵海狸和山猫。每个队每周只赛一场。做一个赛程安排，使每个队与其他所有队互赛一场，且整个赛程最短。建立一个图模型以便使用图着色方法求解问题。

虽然只有6支队伍，但在考虑主客场的情况下，点数很多，加之回溯法本身指数级的时间复杂度，导致有些情况求解不出来。

2. 思路分析

用A~E这6个字母依次代表题目中的球队。在考虑主客场的情况下，“互赛”意味着比赛双方是有次序的，如AB和BA不同，一场比赛为图模型的一个点。则图模型的点集为："AD", "AE", "AF", "BA", "BC", "BE", "CA", "CB", "CD", "CE", "CF","DA", "DB", "DC", "DE", "DF", "EA", "EB", "EC", "ED", "EF", "FA", "FB", "FC", "FD", "FE"。且已按字典序排好。一共是26种（已经除去比赛过的队伍）。

下面确定图模型的边集。首先这是无向图。图模型的每条边连接两个点（两场比赛），它表明这两场比赛不能在一周内同时进行，比如"AD"和"AE"应该连接，"AD"和"DA"应该连接，"AD"和"BC"不能连接，等等。这样建立好边集。采用邻接表存储，可避免对不相邻点的重复访问，因为不关心不相邻点的颜色。

问题的求解就是对图的点着色，相邻点不能用同一颜色。颜色数较多时，如果本身能够完成着色，找到一个解即可，在点规模只有26的情况下，常数时间规模内即可完成判定。颜色数较少时，如果本身能够完成着色，则需遍历整个解空间，达到指数级时间复杂度，只能判定颜色数较少的情况，颜色数较大又无法着色导致耗时极长。