最长公共子序列（LCS）及其应用（密码脱落）

最长公共子序列（LCS）及其应用（密码脱落）

给定两个 string 字符串，找出他们的最长公共子序列（Longest Common Sequence，LCS）。

例如 string A = “BDCABA“，string B = ”ABCBDAB“，他们的LCS = 4。

求最长公共子序列的经典方法属于一种动态规划（Dynamic Programming，DP）。

而动态规划的两个基本要素为：① 最优子结构 ② 重叠子问题

① 最优子结构

设 X = x₁ x₂ … x_n Y = y₁ y₂ … y_m

若 x_n == y_m，说明该元素一定存在于LCS中，

故只要求 LCS（X_n-1，y_m-1），这是一个最优的子问题。

若 x_n != y_m，则继续分类缩小问题的范围。

故只要求 max{LCS(X_n-1，Y_m)，LCS(X_n，Y_m-1)} 即可。

② 重复子问题

LCS（X，Y）：LCS（X_n-1，Y_m-1），LCS（X_n-1，Y_m），LCS（X_n，Y_m-1）

LCS（X_n-1，Y_m）：LCS（X_n-2，Y_m-1），LCS（X_n-2，Y_m），LCS（X_n-1，Y_m-1）

……

如图会有很多重复的子问题，若用递归做时间会以指数增长。

用 dp 做的直接进行“查表”即可。

综上：

参考代码：

int LCS(string str1, string str2){
   
   
	// 初始化第一行和第一列 
	for(int i = 0; i <= len1; i++){
   
   
		dp[i][0] = 0;
	}
	for(int i = 0; i <= len2; i++){
   
   
		dp[0][i] = 0;
	}
	// 构建dp数组 
	for(int i = 1; i <= len1; i++){
   
   
		for(int j = 1; j <= len2; j++){