DTOJ 4020 式神守护_alisomia担心-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41717018/article/details/83621906

本文探讨了一种复杂的数据结构和算法问题，紫妈（紫）尝试在特定条件下通过隙间的权值召唤式神。文章提出了两种解决方案，一种是基于线段树的50pts解法，另一种是利用分治策略实现的更高效算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

式神守护
【题目背景】
“操纵着大结界的，是紫呢。”
“紫？就是那个一直在隙间里睡觉的那个？”
“她可是具有式神守护着的妖怪哦。”
【题目描述】
紫妈 ~~（尊重出题人）~~ 有 $n$ 个隙间排成一列，每个隙间都有一个权值 $val_{i}$ 。
她可以选出某些隙间来召唤式神：一组隙间能成功召唤式神当且仅当他们的权值和为 $m$ 的倍数。(可以是 $0$ 倍)
现在紫妈试图召唤 $Q$ 次式神，每次给出一个 $l_{i}$ 和 $r_{i}$ ,她试图在第 $l_{i}$ 和 $r_{i}$ 个隙间中召唤式神，
她会选择其中一些隙间（不一定需要连续的一些）召唤式神。她想知道，有多少种方案可以
成功召唤式神。
【输入格式】
第一行两个数， $n$ 和 $m$ 。
第二行n 个数，表示 $val_{i}$ 。
第三行一个数，表示 $Q$ 。
下面 $Q$ 行，每行两个数，表示 $l_{i}$ 和 $r_{i}$ 。
【输出格式】
$Q$ 行，每行一个数，表示方案数，方案数 $mod (10^9+ 7 )$ 输出。
【样例输入】
4 3
5 1 3 2
2
1 2
1 3
【样例输出】
2
4
【数据范围与约定】
对于 $100%100\%$ 的数据， $n≤200000,Q≤200000,m≤20,1≤vali≤109n\leq 200000,Q\leq 200000,m\leq 20,1\leq val_{i}\leq 10^9$ 。
数据有梯度。

题解：

骚骚的分治（orzJyt orzSlz）
考虑暴力，设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数，构成价值是 $j$ 的方案数。
于是 $f_{0,0}=1$ , $f_{i,(j+a_{i})modm}+=f_{i-1,j}$
然后在考场上，我还想了个 $nlogn×m2nlogn\times m^2$ 的线段树，每个节点存下该区间从 $0$ 到 $m - 1$ 的方案数，询问的时候将两段区间用 $m^2$ 处理出来。
成功拿到 $50 p t s$ 。
正解：
考虑分治。
将所有区间先提出来，然后对于 $val_{i}$ 分治，并且带上询问。
考虑分治到 $[l, r]$ ，中间是 $m i d$ 。
考虑对于询问区间，将 $r≤midr\leq mid$ 的区间放到 $[l, m i d]$ 中做，将 $l≥midl\geq mid$ 的区间放到 $[m i d + 1, r]$ 中做。
只考虑跨过 $m i d$ 的区间。
从 $m i d$ 往两边跑上面的暴力 $D P$
然后直接合并即可。

考场 $50 p t s$ 代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define in inline
#define re register
#define rep(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define repd(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
#define For(i,a,b) for(re int i=a;i<b;i++)
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
#define shenben puts("orzlkw");
template<class T>in void g(T&t){T x,f=1;char ch;_(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch-48;_()x=x*10+ch-48;t=f*x;}
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=200004;
int n,m,val[N];
struct seg{int v[23];}t[N<<2];
in void mer(seg &x,seg le,seg ri){
	For(i,0,m) x.v[i]=(1ll*le.v[i]+ri.v[i])%mod;
	For(i,0,m){
		For(j,0,m){
			x.v[(i+j)%m]=(x.v[(i+j)%m]+1ll*le.v[i]*ri.v[j]%mod)%mod;
		}
	}
}
in void build(int x,int l,int r){
	if(l==r){t[x].v[val[l]%m]++;return;}
	int mid=l+r>>1;
	build(x<<1,l,mid);build(x<<1|1,mid+1,r);
	mer(t[x],t[x<<1],t[x<<1|1]);
}
in seg Q(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(l>=L&&r<=R) return t[x];
	int mid=l+r>>1;
	if(R<=mid) return Q(x<<1,l,mid,L,R);
	else if(L>mid) return Q(x<<1|1,mid+1,r,L,R);
	else{
		seg t1=Q(x<<1,l,mid,L,mid);
		seg t2=Q(x<<1|1,mid+1,r,mid+1,R);
		seg res;mer(res,t1,t2);
		return res;
	}
}
int main(){
	freopen("yukari.in","r",stdin);freopen("yukari.out","w",stdout);
	g(n),g(m);
	rep(i,1,n) g(val[i]);
	build(1,1,n);
	int T;g(T);
	while(T--){
		int l,r;g(l),g(r);
		if(l>r) swap(l,r);
		seg tmp=Q(1,1,n,l,r);
		//For(i,0,m) cout<<tmp.v[i]<<endl;
		printf("%d\n",(1ll*tmp.v[0]%mod+1)%mod);
	}
	return 0;
}

正解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define in inline
#define re register
#define rep(i,a,b) for(re int i=a;i<=b;i++)
#define repd(i,a,b) for(re int i=a;i>=b;i--)
#define For(i,a,b) for(re int i=a;i<b;i++)
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
#define shenben puts("orzlkw");
template<class T>in void g(T&t){T x,f=1;char ch;_(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch-48;_()x=x*10+ch-48;t=f*x;}
const int N=200004,M=30,mod=1e9+7;
struct Q{
	int l,r,id;
}q[N],tmp[N];
int a[N],n,m,T,f[N][M],h[N][M],ans[N];
in void mer(int l,int r,int ql,int qr){
	if(ql>qr) return;
	if(l==r){
		rep(i,ql,qr) ans[q[i].id]++;
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	int t1=0,t2=0,t3=0;
	rep(i,ql,qr) if(q[i].r<=mid) tmp[++t1]=q[i]; 
	t2=t1; rep(i,ql,qr) if(q[i].l<=mid&&q[i].r>mid) tmp[++t2]=q[i];
	t3=t2; rep(i,ql,qr) if(q[i].l>mid) tmp[++t3]=q[i];
	for(int i=ql,j=1;i<=qr,j<=t3;i++,j++) q[i]=tmp[j];
	mer(l,mid,ql,ql+t1-1);mer(mid+1,r,ql+t2,qr);
	rep(i,l,mid+1) rep(j,0,m) f[i][j]=0;
	rep(i,mid,r) rep(j,0,m) h[i][j]=0;
	f[mid+1][0]=1;h[mid][0]=1;
	repd(i,mid,l){
		For(j,0,m) 
			f[i][(j+a[i])%m]=(f[i+1][j]+f[i][(j+a[i])%m])%mod;
		For(j,0,m) f[i][j]+=f[i+1][j],f[i][j]%=mod;
	}
		
	rep(i,mid+1,r){
		For(j,0,m) 
			h[i][(j+a[i])%m]=(h[i-1][j]+h[i][(j+a[i])%m])%mod; 
		For(j,0,m) h[i][j]+=h[i-1][j],h[i][j]%=mod;
	}
		
	rep(i,ql+t1,ql+t2-1)
		For(j,0,m) 
			ans[q[i].id]=(ans[q[i].id]+1ll*f[q[i].l][j]*h[q[i].r][((m-j)%m+m)%m]%mod)%mod;
}
int main(){
	//freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);
	g(n);g(m);
	rep(i,1,n) g(a[i]);
	g(T); rep(i,1,T) g(q[i].l),g(q[i].r),q[i].id=i;
	mer(1,n,1,T);
	rep(i,1,T){
		printf("%d\n",(1ll*(ans[i])%mod+mod)%mod);
	}
	return 0;
}