SVM(支持向量机)原理及数学推导全过程详解

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关于SVM网上已经有很多很多的前辈有过讲解，这两天自己在网上看了看资料，结合前辈们的文章对SVM进行了一个整理，把看的过程中产生的一些问题也进行了解答。本来想着总结得简洁明了又易懂，但SVM本就有严格的数学理论支撑，不像其他机器学习算法是一个黑箱，写完发现要尽量让小白也懂少不了具体的论述，再加上前辈们也整理的很好，所以啰嗦了很长很长。但也算是很详细了。
一、SVM简介

1. 1 SVM的引入
   支持向量机(Support Vector Machine)是Cortes和Vapnik于1995年首先提出的，它在解决小样本、非线性及高维模式识别中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中。
   小样本，并不是说样本的绝对数量少（实际上，对任何算法来说，更多的样本几乎总是能带来更好的效果），而是说与问题的复杂度比起来，SVM算法要求的样本数是相对比较少的。
   非线性，是指SVM擅长应付样本数据线性不可分的情况，主要通过松弛变量（也有人叫惩罚变量）和核函数技术来实现，这一部分是SVM的精髓，以后会详细讨论。多说一句，关于文本分类这个问题究竟是不是线性可分的，尚没有定论，因此不能简单的认为它是线性可分的而作简化处理，在水落石出之前，只好先当它是线性不可分的（反正线性可分也不过是线性不可分的一种特例而已，我们向来不怕方法过于通用）。
   高维模式识别是指样本维数很高，例如文本的向量表示，如果没有经过另一系列文章（《文本分类入门》）中提到过的降维处理，出现几万维的情况很正常，其他算法基本就没有能力应付了，SVM却可以，主要是因为SVM 产生的分类器很简洁，用到的样本信息很少（仅仅用到那些称之为“支持向量”的样本），使得即使样本维数很高，也不会给存储和计算带来大麻烦（相对照而言，kNN算法在分类时就要用到所有样本，样本数巨大，每个样本维数再一高，这日子就没法过了……）。
   目前在引入SVM概述时主要有两个方式：
   一是：
   支持向量机方法是建立在统计学习理论的VC 维理论和结构风险最小原理基础上的，根据有限的样本信息在模型的复杂性（即对特定训练样本的学习精度，Accuracy）和学习能力（即无错误地识别任意样本的能力）之间寻求最佳折衷，以期获得最好的推广能力（或称泛化能力）。解释一下就是，与统计机器学习的精密思维相比，传统机器学习基本上属于摸着石头过河，用传统的机器学习方法构造分类系统完全成了一种技巧，一个人做的结果可能很好，另一个人差不多的方法做出来却很差，缺乏指导和原则。
   所谓VC维是对函数类的一种度量，可以简单的理解为问题的复杂程度，VC维越高，一个问题就越复杂。正是因为SVM关注的是VC维，后面我们可以看到，SVM解决问题的时候，和样本的维数是无关的（甚至样本是上万维的都可以，这使得SVM很适合用来解决文本分类的问题，当然，有这样的能力也因为引入了核函数）。
   结构风险是什么呢？机器学习本质上就是一种对问题真实模型的逼近（我们选择一个我们认为比较好的近似模型，这个近似模型就叫做一个假设），但毫无疑问，真实模型一定是不知道的（如果知道了，我们干吗还要机器学习？直接用真实模型解决问题不就可以了？对吧，哈哈）既然真实模型不知道，那么我们选择的假设与问题真实解之间究竟有多大差距，我们就没法得知。这个与问题真实解之间的误差，就叫做风险（更严格的说，误差的累积叫做风险）。我们选择了一个假设之后（更直观点说，我们得到了一个分类器以后），真实误差无从得知，但我们可以用某些可以掌握的量来逼近它。最直观的想法就是使用分类器在样本数据上的分类的结果与真实结果（因为样本是已经标注过的数据，是准确的数据）之间的差值来表示。这个差值叫做经验风险Remp(w)(也就是模型在样本数据上的误差)。以前的机器学习方法都把经验风险最小化作为努力的目标，但后来发现很多分类函数能够在样本集上轻易达到100%的正确率，在真实分类时却一塌糊涂（即所谓的推广能力差，或泛化能力差）。此时的情况便是选择了一个足够复杂的分类函数（它的VC维很高），能够精确的记住每一个样本，但对样本之外的数据一律分类错误。回头看看经验风险最小化原则我们就会发现，此原则适用的大前提是经验风险要确实能够逼近真实风险才行（行话叫一致），但实际上能逼近么？答案是不能，因为样本数相对于现实世界要处理的数据来说简直九牛一毛，经验风险最小化原则只在这占很小比例的样本上做到没有误差，当然不能保证在更大比例的真实数据上也没有误差。
   统计学习因此而引入了泛化误差界的概念，就是指真实风险应该由两部分内容刻画，一是经验风险，代表了分类器在给定样本上的误差；二是置信风险，代表了我们在多大程度上可以信任分类器在未知数据分类的结果。很显然，第二部分是没有办法精确计算的，因此只能给出一个估计的区间，也使得整个误差只能计算上界，而无法计算准确的值（所以叫做泛化误差界，而不叫泛化误差）。
   置信风险与两个量有关，一是样本数量，显然给定的样本数量越大，我们的学习结果越有可能正确，此时置信风险越小；二是分类函数的VC维，显然VC维越大，推广能力越差，置信风险会变大。
   泛化误差界的公式为：R(w)≤Remp(w)+Ф(n/h)。公式中R(w)就是真实风险，Remp(w)就是经验风险，Ф(n/h)就是置信风险。统计学习的目标从经验风险最小化变为了寻求经验风险与置信风险的和最小，即结构风险最小。SVM正是这样一种努力最小化结构风险的算法。
   二是：
   另一种引入方式是从logistic回归出发，引出了SVM，既揭示了模型间的联系，也让人觉得过渡更自然。
   Logistic回归目的是从特征学习出一个0/1分类模型，而这个模型是将特性的线性组合作为自变量，由于自变量的取值范围是负无穷到正无穷。因此，使用logistic函数（或称作sigmoid函数）将自变量映射到(0,1)上，映射后的值被认为是属于y=1的概率。
   形式化表示就是假设函数：

其中x是n维特征向量，函数g就是logistic函数。

的图像是

这里就不详细论述逻辑回归了。总结来说就是Logistic回归就是要学习得到theta，使得正例的特征远大于0，负例的特征远小于0，强调在全部训练实例上达到这个目标。

logistic回归强调所有点尽可能地远离中间那条线。学习出的结果也就中间那条线。考虑上面3个点A、B和C。从图中我们可以确定A是×类别的，然而C我们是不太确定的，B还算能够确定。这样我们可以得出结论，我们更应该关心靠近中间分割线的点，让他们尽可能地远离中间线，而不是在所有点上达到最优。因为那样的话，要使得一部分点靠近中间线来换取另外一部分点更加远离中间线。我想这就是支持向量机的思路和logistic回归的不同点，一个考虑局部（不关心已经确定远离的点），一个考虑全局（已经远离的点可能通过调整中间线使其能够更加远离）。这是我的个人直观理解。
1.2 SVM入门
线性分类器(一定意义上,也可以叫做感知机) 是最简单也很有效的分类器形式.在一个线性分类器中,可以看到SVM形成的思路,并接触很多SVM的核心概念.
用一个二维空间里仅有两类样本的分类问题来举个小例子。如图所示

C1和C2是要区分的两个类别，在二维平面中它们的样本如上图所示。中间的直线就是一个分类函数，它可以将两类样本完全分开。一般的，如果一个线性函数能够将样本完全正确的分开，就称这些数据是线性可分的，否则称为非线性可分的。
什么叫线性函数呢？在一维空间里就是一个点，在二维空间里就是一条直线，三维空间里就是一个平面，可以如此想象下去，如果不关注空间的维数，这种线性函数还有一个统一的名称——超平面（Hyper Plane）！
实际上，一个线性函数是一个实值函数（即函数的值是连续的实数），而我们的分类问题（例如这里的二元分类问题——回答一个样本属于还是不属于一个类别的问题）需要离散的输出值，例如用1表示某个样本属于类别C1，而用0表示不属于（不属于C1也就意味着属于C2），这时候只需要简单的在实值函数的基础上附加一个阈值即可，通过分类函数执行时得到的值大于还是小于这个阈值来确定类别归属。 例如我们有一个线性函数
g(x)=wx+b
我们可以取阈值为0，这样当有一个样本xi需要判别的时候，我们就看g(xi)的值。若g(xi)>0，就判别为类别C1，若g(x