最优化方法：四、一维搜索法

主要参考书目：

• 最优化方法及其应用/郭科，陈聆，魏友华.-北京：高等教育出版社,2007.7(2013.7重印)

迭代的基本公式是

$$X_{k+1}=X_k+t_k P_k;$$
当我们确定了搜索方向$P_k$,我们要做的就是确定一个步长$t_k$，使得$min f(X_k+t_k P_k)$，从而也就确定了$X_{k+1}$，记为$X_{k+1}=ls(X_k,P_k)$。寻找$t_k$的过程即称是一维搜索。
对于一个确定的目标函数$f(X)$，一维搜索等价于以下两式：

可以证明，在$X_{k+1}$处满足$\bigtriangledown f(X_{k+1})^T P_k=0.$如下图：

1、一些概念

• 搜索区间
  即是包含问题最优解的一个区间。
• 单谷区间与单谷函数
  定义：
  
  有性质：
  
  根据此性质，我们可以将一个已知的单谷区间缩短为一个更小的单谷区间，从而无限接近于最优解。

2、进退法（加步搜索法）

该方法主要用于确定初始搜索区间。

• 基本原理：
  
  我们即是要寻找如图c的情况。
• 计算步骤
  
  该流程图中初始点赋的值为0，实际上可以是任意值。
• matlab实现

function [a,b] = JinTui(f,xk0,d,th)
%进退法求搜索区间
%输入：
%       f：目标函数的句柄
%       xk0：初始值
%       d：搜索方向
%       th:初始步长
%输出：
%       [a b]得到的搜索区间
%——开始
t=th;
x1=xk0;y1=feval(f,x1);
x2=x1+t.*d;y2=feval(f,x2);
while y1==y2
    t=1.1*t;
    x2=x1+t.*d;
    y2=feval(f,x2);
end
if y2<y1
    t=2*t;
    x3=x2+t.*d;
    y3=feval(f,x3);
elseif y2>y1
    t=-t;
    %交换x1,x2
    x3=x1;y3=y1;
    x1=x2;y1=y2;
    x2=x3;y2=y3;
    x3=x2+t.*d;
    y3=feval(f,x3);
end
while 1
    while y2==y3
        t=1.1*t;
        x3=x2+t.*d;
        y3=feval(f,x3);
    end
    if y3>y2
        break;
    else
        x1=x2;y1=y2;
        x2=x3;y2=y3;
        t=2*t;
        x3=x2+t.*d;
        y3=feval(f,x3);
    end
end
a=min(x1,x3);
b=max(x1,x3);
end

2、对分法

• 基本思路
  在一个单谷区间内，求函数$f(x)$的极小值即是求$f'(x)=0$的点。此对分法即是求函数零点的对分法，不再赘述。
• 特点
  此方法要求“单谷”，也要求原函数导数存在。

3、牛顿切线法

• 基本思路
  与对分法类似，同样是把求函数$f(x)$的极小值转化为求$f'(x)=0$的点。此时的牛顿切线法也就是求函数零点的牛顿切线法，亦不赘述。
• 特点
  此方法同样要求“单谷”，也要求原函数二阶导数存在。
  该方法若使用恰当收敛很快，但同时也容易出现不能收敛的问题。

4、黄金分割法

• 基本思路
  利用单谷区间的性质，缩短区间，$t_1,t_2$点选为区间的两个黄金分割点。
• 特点
  只要求“单谷”。

5、抛物线插值法

• 基本思路
  通过用抛物线拟合目标函数的方法求取近似极小值。
  不妨设单谷搜索区间为$[t_1,t_2]$，再任取$t_0 \in [t_1,t_2]$，根据此三点确定一个抛物线，求出其最小值点$t'$，若精度不满足要求，再利用单谷区间的性质缩短区间进一步迭代。
• 具体内容
  $$t'=\dfrac{1}{2}\dfrac{(t_0^2-t_2^2)f(t_1)+(t_2^2-t_1^2)f(t_0)+(t_1^2-t_0^2)f(t_2)} {(t_0-t_2)f(t_1)+(t_2-t_1)f(t_0)+(t_1-t_0)f(t_2)}$$
  流程如下：