TYVJ 1933 绿豆蛙的归宿（概率dp）

最新推荐文章于 2021-06-29 10:58:59 发布

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本篇介绍了一道有趣的概率DP问题——绿豆蛙在有向无环图中从起点到终点行走的期望路径长度。通过反向拓扑排序进行状态转移，实现了高效的求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4316

题意翻译

「Poetize3」

题目背景

随着新版百度空间的上线，Blog宠物绿豆蛙完成了它的使命，去寻找它新的归宿。

题目描述

给出一个有向无环图，起点为1终点为N，每条边都有一个长度，并且从起点出发能够到达所有的点，所有的点也都能够到达终点。绿豆蛙从起点出发，走向终点。到达每一个顶点时，如果有K条离开该点的道路，绿豆蛙可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1/K 。现在绿豆蛙想知道，从起点走到终点的所经过的路径总长度期望是多少？

输入输出格式

输入格式：

第一行: 两个整数 N M，代表图中有N个点、M条边第二行到第 1+M 行: 每行3个整数 a b c，代表从a到b有一条长度为c的有向边

输出格式：

从起点到终点路径总长度的期望值，四舍五入保留两位小数。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1： 复制

7.00

说明

对于20%的数据 N<=100

对于40%的数据 N<=1000

对于60%的数据 N<=10000

对于100%的数据 N<=100000，M<=2*N

思路：

概率dp，设状态dp【x】表示从x出发到达终点的期望距离。则有状态转移方程：

$dp[x]=\sum_{i=1}^{k}P(x->y_{i})*dp[y_{i}]+P(x->y_{i})*edge[z_{i}]$

然后反向拓扑dp递推答案。

AC代码：

/**Wjvje**/
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include<algorithm>
#include <set>
#include <queue>
#include <stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
/** -?￡- **/
#define LL long long
#define par pair<LL,LL>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define io ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);
using namespace std;
const int N=2e5+100;
const int M=2e5+100;
int head[N];
int Next[M];
int edge[M];
int ver[M];
int deg[N];
int in[N];
int tot;
void add(int x,int y,int z)
{
	edge[++tot]=z;
	ver[tot]=y;
	Next[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
	deg[y]++;
	in[y]++;
}
double dp[N];
void topsort(int n)
{
	queue<int>q;
	while(q.size())q.pop();
	q.push(n);
	while(q.size())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=head[x];i;i=Next[i])
		{
			int y=ver[i];
			int z=edge[i];
			dp[y]+=1.0*(dp[x]+z)/in[y];
			if(--deg[y]==0)q.push(y);
		}
	}
}
int main()
{
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
	{
		memset(ver,0,sizeof(ver));
		memset(head,0,sizeof(head));
		memset(edge,0,sizeof(edge));
		memset(Next,0,sizeof(Next));
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		tot=0;
		memset(deg,0,sizeof(deg));
		memset(in,0,sizeof(in));
		for(int i=1;i<=m;++i)
		{
			int x,y,z;
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
			add(y,x,z);
		}
		topsort(n);
		printf("%.2lf\n",dp[1]);
		
	}
	return 0;
	
}

The end；