Problem : 等式

本文介绍了一种通过在数字间插入运算符来构造等式的算法。对于给定的目标值N,算法统计所有可能的组合数量,使得从1到9的连续数字通过加、减或直接连接形成的有效等式等于N。提供了具体的示例输入输出及实现代码。

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Problem : 等式

Description
有一个未完成的等式:1 2 3 4 5 6 7 8 9=N当给出整数N的具体值后,请你在2,3,4,5,6,7,8,9这
8个数字的每一个前面,或插入一个运算符号“+”号,或插入一个运算符号“-”号,或不插入任何运算符号,使
等式成立,并统计出能使等式成立的算式总数,若无解,则输出0。例如:取N为108时,共能写出15个不同的等式
,以下就是其中的二个算式:
1+23+4+56+7+8+9=108
123-45+6+7+8+9=108

Input
只有1个数,即整数N的值。-30000≤n≤1000000
Output
只有一行,该行只有1个数,表示能使等式成立的算式总数。

Sample Input
108
Sample Output
15

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans,n;
void p(int f,int u,int c,int k) 
{
    if(f==10)     
    {
        if(u+c==n||c-u==n)ans++;
        return;
    }
    p(f+1,f,u+c,f);
    if(k!=1)p(f+1,f,c-u,f);
    p(f+1,u*10+f,c,k);
}
int main() 
{
    cin>>n;
    p(2,1,0,1);
    cout<<ans<<endl;
}
### 关于NOIP 2008 火柴棒等式 #### 题目内容 给定 n 根火柴棍,可以拼出多少个形如 “A + B = C” 的等式?其中 A、B 和 C 是由火柴棍拼成的整数(如果这些数是非零数,则其最高位不可为零)。具体来说,用火柴棍拼写数字 0 到 9 所需的数量如下表所示: | 数字 | 使用火柴数量 | | --- | --------------| | 0 | 6 | | 1 | 2 | | 2 | 5 | | 3 | 5 | | 4 | 4 | | 5 | 5 | | 6 | 6 | | 7 | 3 | | 8 | 7 | | 9 | 6 | 输入仅有一个整数 n (n ≤ 24),表示可用的火柴总数。 输出应是一个整数,代表能组成的合法等式的数目[^1]。 #### 解题思路 对于这个问题,核心在于枚举所有可能构成的有效组合。由于题目规定了最大火柴数不超过24根,因此可以直接通过预处理的方式计算每一个数字所需消耗的火柴量,并基于此构建动态规划模型来进行求解。 为了简化问题复杂度,在实际编程实现过程中通常会采用记忆化搜索的方法来避免重复运算。这种方法能够有效地减少不必要的计算次数,从而提升程序效率。另外需要注意的是,因为涉及到加法操作,所以还需要考虑进位的情况以及如何合理分配剩余的火柴用于表达其他部分的结果。 ```python # Python code snippet to solve the matchstick equation problem. def count_equations(n): # Define a dictionary mapping each digit to its corresponding number of matches required. digits_to_matches = {str(i): v for i, v in enumerate([6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6])} @functools.lru_cache(None) def dfs(a, b, c, remaining): if remaining < 0: return 0 if not a and not b and not c: return int(remaining == 0) result = 0 max_digit = min(int(bool(a)), int(bool(b)), int(bool(c))) for d in range(max_digit, 10): new_remaining = ( remaining - digits_to_matches[str(d)] * sum((a > 0, b > 0, c > 0)) + ((d >= 5) << bool(a & b)) ) result += dfs( a - (d != 0), b - (d != 0), c - (d != 0 or (not a and not b)), new_remaining, ) return result total_ways = 0 for first_num_len in range(1, n//2+1): for second_num_len in range(1, n-first_num_len+1): third_num_len = n - first_num_len - second_num_len if any(x <= 0 for x in [first_num_len, second_num_len, third_num_len]): continue total_ways += dfs(first_num_len, second_num_len, third_num_len, n-sum(digits_to_matches.values())) return total_ways if __name__ == "__main__": import functools print(count_equations(int(input()))) ```
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