HDU - 4135 Co-prime

最新推荐文章于 2021-09-29 20:42:59 发布

@bigfive

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分类专栏：组合数学 ACM 文章标签：容斥原理

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本文介绍了解决HDU-4135 Co-prime问题的方法，通过分解给定整数n的素因子，并利用容斥原理计算区间[a,b]内与n互质的数的个数。采用状态压缩技巧处理多个素因子的情况。

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题目连接

HDU - 4135 Co-prime

题意

输入a,b,n,要求区间[a,b]中与n互质的数的个数（1<=a<=b<=10^15 ; 1<=n<=10^9）。

思路

判断两个数是否互质，首先想到辗转相除法，然而这里的a,b相当大，枚举a，b间的每一个数并判断和n是否互质必然超时。
既然判断两个数互质方法单一，那么我们可以从反面考虑，首先计算出区间[a,b]里与n不互质的的数的个数sum，然后用（ b - a + 1）- sum即可。接下来就来讲讲如何计算与区间内与n不互质的数的个数：
将n进行素因子分解，此处不需要记录每个素因子的指数，只需记录底数即可，如果x是n的某个素因子的倍数，那么x一定与n不互质（两数互质的充要条件是两数的最大公约数为1，因此1与任何数互质）。fac[]分别记录每个素因子，那么所求区间内与某个质因数不互质的个数就是x/fac[i]，假设只有三个质因子，总的不互质的个数应该为p1+p2+p3-p1*p2-p1*p3-p2*p3+p1*p2*p3（容斥原理），当有更多个质因子的时候，可以用状态压缩解决，二进制位上是1表示这个质因子被取进去了。如果有奇数个1，就相加，反之则相减。

#include<iostream>
using namespace std;

typedef unsigned long long ll;
//fac[]仅保存n的素因子的底数，因为此处不需要指数，有时用vector
int fac[100000];
int cnt;//记录素因子个数

//分解素因子
void play_factor(ll n)
{
    cnt=0;//初始化
    for(ll i=2;i<=n/i;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            fac[++cnt]=i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        fac[++cnt]=n;
}

//求解[1,x]中与n互质的数的个数
ll solve(ll x)
{
    ll sum=0,val,k,i,j;

    //容斥原理
    for(i=1;i<(1<<cnt);i++)
    {//状压
        val=1;
        k=0;//记录用了几个因子

        //用二进制来1,0来表示第几个素因子是否被用到,如m=3，
        //三个因子是2,3,5，则i=3时二进制是011，表示第2、3
        //个因子被用到
        for(j=0;j<cnt;j++)
        {
            if(i&(1<<j))//判断目前几个因子被用到
            {
                val*=fac[j+1];
                k++;
            }
        }
        if(k&1)//奇加偶减
            sum+=x/val;
        else
            sum-=x/val;
    }
    return x-sum;
}

int main()
{
    int T,cas=1;
    ll n,a,b;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>a>>b>>n;
        play_factor(n);
        ll ans=solve(b)-solve(a-1);
        cout<<"Case #"<<cas++<<": "<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}