Hdu 1757 A Simple Math Problem 矩阵快速幂

本文介绍了一种使用矩阵快速幂技术解决特定数学问题的方法,通过定义和操作矩阵结构,实现了对大数运算的高效处理。代码示例展示了如何在C++中实现矩阵乘法和矩阵快速幂算法,用于解决形如Fibonacci数列的递推问题。

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A Simple Math Problem

 

//E
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long 
using namespace std;
struct Mat{
	ll m[101][101];
};
int mod;
int n;
Mat a,e;
Mat mul(Mat x,Mat y){
	Mat c;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			c.m[i][j] = 0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=n;k++){
				c.m[i][j] = (c.m[i][j]+ x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod)%mod;
			}
		}
	}
	return c;
}
Mat pow(Mat x,ll y){
	Mat ans;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		if(i==j)ans.m[i][i] = 1;
		else ans.m[i][j] = 0;
	while(y){
		if(y&1)ans = mul(ans,x);
		x = mul(x,x);
		y>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){	
	int m; 
	n = 10;
	while(cin>>m>>mod)	
	{       
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				a.m[i][j] = 0;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)            
			cin>>a.m[1][i];              
		for(int i=2;i<=n;i++)           
			a.m[i][i-1]=1;          
			if(m<10) cout<<m%mod;            
			else 		{  
			Mat res;          
			res = pow(a,m-9);            
			int ans=0;            
			for(int i=1;i<=n;i++)                
			ans+=res.m[1][i]*(10-i)%mod;            
			cout<<ans%mod<<endl;        
			}    
	}    
	return 0;
}
/*
10 9999
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 500
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

*/

 

### HDU 2544 题目分析 HDU 2544 是关于最短路径的经典问题,可以通过多种方法解决,其中包括基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 算法。以下是针对该问题的具体解答。 --- #### 基于邻接矩阵的 Floyd-Warshall 实现 Floyd-Warshall 算法是一种动态规划算法,适用于计算任意两点之间的最短路径。它的时间复杂度为 \( O(V^3) \),其中 \( V \) 表示节点的数量。对于本题中的数据规模 (\( N \leq 100 \)),此算法完全适用。 下面是具体的实现方式: ```cpp #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; const int INF = 0x3f3f3f3f; int dist[105][105]; int n, m; void floyd() { for (int k = 1; k <= n; ++k) { // 中间节点 for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 起始节点 for (int j = 1; j <= n; ++j) { // 结束节点 if (dist[i][k] != INF && dist[k][j] != INF) { dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]); } } } } } int main() { while (cin >> n >> m && (n || m)) { // 初始化邻接矩阵 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= n; ++j) { if (i == j) dist[i][j] = 0; else dist[i][j] = INF; } } // 输入边的信息并更新邻接矩阵 for (int i = 0; i < m; ++i) { int u, v, w; cin >> u >> v >> w; dist[u][v] = min(dist[u][v], w); dist[v][u] = min(dist[v][u], w); // 如果是有向图,则去掉这一行 } // 执行 Floyd-Warshall 算法 floyd(); // 输出起点到终点的最短距离 cout << (dist[1][n] >= INF ? -1 : dist[1][n]) << endl; } return 0; } ``` --- #### 关键点解析 1. **邻接矩阵初始化** 使用二维数组 `dist` 存储每一对节点间的最小距离。初始状态下,设所有节点对的距离为无穷大 (`INF`),而同一节点自身的距离为零[^4]。 2. **输入处理** 对于每条边 `(u, v)` 和权重 `w`,将其存储至邻接矩阵中,并取较小值以防止重边的影响[^4]。 3. **核心逻辑** Floyd-Warshall 的核心在于三重循环:依次尝试通过中间节点优化其他两节点间的距离关系。具体而言,若从节点 \( i \) 到 \( j \) 可经由 \( k \) 达成更优解,则更新对应位置的值[^4]。 4. **边界条件** 若最终得到的结果仍为无穷大(即无法连通),则返回 `-1`;否则输出实际距离[^4]。 --- #### 性能评估 由于题目限定 \( N \leq 100 \),因此 \( O(N^3) \) 的时间复杂度完全可以接受。此外,空间需求也较低,适合此类场景下的应用。 ---
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