三维坐标系间点坐标变换

三维坐标系间点坐标变换

假设条件：

假设当前坐标系 x 轴、y 轴、z 轴的单位向量为 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$，新坐标系原点O在当前坐标系的坐标为 $(x_0,y_0,z_0)$，新坐标系 x 轴、y 轴、z 轴的单位向量为 $\overrightarrow{a^{{}^{\prime }}}(u_x,u_y,u_z)$、$\overrightarrow{b^{{}^{\prime }}}(v_x,v_y,v_z)$、$\overrightarrow{c^{’}}(n_x,n_y,n_z)$。

新坐标系坐标轴方向的单位向量可以通过不共线的三点求出

假设以不共线的三点a，b，c所构成的平面作为 x-o-y 平面，则通过 $\overrightarrow{ba}，\overrightarrow{bc}$ 作叉积即可求出 z 轴的方向向量，选定 $ba$ 为 x 轴，让 $ba$ 和 z 轴的方向向量作叉积即可得出 y 轴的方向向量，同理可得出 x 轴的方向向量。

注意： $\overrightarrow{a^{{}^{\prime }}}$、$\overrightarrow{b^{{}^{\prime }}}$、$\overrightarrow{c^{’}}$是通过当前坐标系来表示的。

求解问题：

现当前坐标系有一点 P ( x p , y p , z p ) P(x_p, y_p, z_p) P(xp​,yp​,z