删数（区间DP）

题目描述

有N个不同的正整数数x1, x2, ... xN 排成一排，我们可以从左边或右边去掉连续的i（1≤i≤n）个数（只能从两边删除数），剩下N-i个数，再把剩下的数按以上操作处理，直到所有的数都被删除为止。

每次操作都有一个操作价值，比如现在要删除从i位置到k位置上的所有的数。操作价值为|xi – xk|*(k-i+1)，如果只去掉一个数，操作价值为这个数的值。 问如何操作可以得到最大值，求操作的最大价值。

输入格式

第一行为一个正整数N；

第二行有N个用空格隔开的N个不同的正整数。

输出格式

一行，包含一个正整数，为操作的最大值

输入输出样例

输入 #1复制

6
54 29 196 21 133 118

输出 #1复制

768

说明/提示

【样例说明】

说明，经过3 次操作可以得到最大值，第一次去掉前面3个数54、29、196，操作价值为426。第二次操作是在剩下的三个数（21 133 118）中去掉最后一个数118，操作价值为118。第三次操作去掉剩下的2个数21和133 ，操作价值为224。操作总价值为426+118+224=768。

【数据规模】

3≤N≤100，N个操作数为1..1000 之间的整数。

 

思路：

1. 由于是数据是正整数，因此，数据都应当从左边开始删除
2. 从递归的思路去想，一个区间所能获得的最大值，等于|xi – xk|*(k-i+1)  i，k为其两端，或  该值由两个小区间的值的和组成，终止条件为该区间左右端点相同（为一个数，最大值为该数本身）
3. 从动态规划的思维去做 递推式：dp[i][j]=max(|xi – xk|*(k-i+1),dp[i][k]+dp[k+1][j]) ，i<=k<=j

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define j i+k   //宏定义 
using namespace std;
int main() {
	int n,a[102],dp[102][102]= {0};  //dp[i][j]表示区间【i，j】的最大值 
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		cin>>a[i];
		dp[i][i]=a[i];   //特判 
	}
	for(int k=1; k<n; k++) {  //枚举j-i的值 
		for(int i=1; j<=n; i++) {  //枚举i 
			int maxl=abs(a[i]-a[j])*(k+1);
			for(int l=i; l<j; l++)maxl=max(maxl,dp[i][l]+dp[l+1][j]);
			dp[i][j]=maxl;
		}
	}
	cout<<dp[1][n]<<endl;   
	return 0;
}

优化：可修改为二重循环,思路：题目要求为整个区间，而非部分区间，所以可递推式可看作dp[1][j]=max(dp[1][k]+dp[k+1][j],dp[1][j],  相当于每次寻找使得dp[i][j]值最大的最后一个独立值区间（值为两端差。。），所以，用此二重循环，需要将每个区间视为独立值区间进行初始化

for (int j=i;j<=n;j++)
    for (int k=i;k<j;k++)//枚举删除范围
      dp[1][j]=max(dp[1][k]+dp[k+1][j],dp[1][j]);//取最大价值