双线性变换

qq_183403829

已于 2022-09-19 09:19:15 修改

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分类专栏：电机控制文章标签： matlab 算法开发语言

于 2022-09-19 09:18:36 首次发布

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主要解决以下两个问题：

问题1：双线性变换法的公式怎么来的？

问题2：双线性指的是什么双线性？

已知z域和s域的关系为

,但是这种方式会造成频谱的混叠。

那如果重写这个公式呢？

重写上面这个式子

$equation?tex=z%3De%5E%7BsT%7D%3D%5Cfrac%7Be%5E%7BsT%2F2%7D%7D%7Be%5E%7B-sT%2F2%7D%7D+%5Ctag%7B1%7D%5C%5C$

在原点sT/2=0处对上式进行泰勒展开,并砍去高阶项，很容易得到

$equation?tex=z%5Capprox%5Cfrac%7B1%2BsT%2F2%7D%7B1-sT%2F2%7D%5Ctag%7B2%7D%5C%5C$

重写(2)式可得

$equation?tex=s%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%5Cfrac%7B1-z%5E%7B-1%7D%7D%7B1%2Bz%5E%7B-1%7D%7D%5Ctag%7B3%7D%5C%5C$

现在我们得到了z与s关系的另一种表达式,当然T越小越好。

$equation?tex=z%3D%5Cfrac%7B1%2BsT%2F2%7D%7B1-sT%2F2%7D%5Ctag%7B4%7D%5C%5C$

由于分子和分母和s是线性关系，所以这个式子就叫双线性变换。分子一个线性变换，分母一个线性变换。

接下来看看这个s与z的关系是如何消除频谱的混叠的：

令

,代入式子（3）可得

$equation?tex=%5Cbegin%7Bequation%7D+%5Cbegin%7Baligned%7D+s%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%5Cfrac%7B1-e%5E%7B-jw%7D%7D%7B1%2Be%5E%7B-jw%7D%7D%5C%5C+%26%3D%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%5Cfrac%7Be%5E%7Bjw%2F2%7D-e%5E%7B-jw%2F2%7D%7D%7Be%5E%7Bjw%2F2%7D%2Be%5E%7B-jw%2F2%7D%7D%5C%5C+%26%3Dj%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7D%5Cfrac%7Bsin%28w%2F2%29%7D%7Bcos%28w%2F2%29%7D%5C%5C+%26%3Dj%5Cfrac%7B2%7D%7BT%7Dtan%28w%2F2%29%3D%5Csigma%2Bj%5COmega%3Dj%5COmega+%5Cend%7Baligned%7D+%5Cend%7Bequation%7D+%5Ctag%7B5%7D%5C%5C+++$ 可以得到