扩展欧几里得算法

用于求一个二元方程的解；求ax+by=？，？需要是ab的gcd，所以可以求逆元，

因为ab互质时gcd=1；

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公

约数，必然存在整数对 x，y ，使得gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab!=0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
long long inv(long long a)
{
    exgcd(a,mod,x,y);
//    cout<<"a="<<(x%mod+mod)%mod<<endl;
    return (x%mod+mod)%mod;
}

求逆元时，根据定义，假设求a关于b的逆元，如果a*x%b==1，则x为a关于b的逆

元；其列为方程即ax-by=1；只要求出x，y的一对整数解就可以了。用exgcd求得

的x即为逆元.