BZOJ 1008: [HNOI2008]越狱【数学题组合数求解】

最新推荐文章于 2023-03-26 16:41:15 发布

XSamsara

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分类专栏： BZOJ -----------分割线----------- 组合数文章标签：越狱 1008 HNOI2008 kevin-xcw

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本文解析了HNOI2008越狱问题，介绍了一种计算给定条件下可能发生越狱状态数量的方法。通过计算总的宗教信仰组合数减去不会发生越狱情况的组合数，得出可能的越狱状态数。

1008: [HNOI2008]越狱

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【题目描述】

监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

【输入格式】

输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

【输出格式】

可能越狱的状态数，模100003取余

【输入样例】

2 3

【输出样例】

6

【样例解释】

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

【解题报告】

我们想求出发生越狱的情况，那么这样很难推，但是也可以推出来，我们可以换个角度，算出总共的信仰宗教数-不越狱的情况。
不越狱的情况，首先我们可以知道第一个监狱的犯人有M种选择，第二个有M-1种选择，第三个也有M-1种选择，……，第N个也有M-1种选择，所以不能越狱的情况是：M*(M-1)^(N-1)。
然后我们知道总共选择的有M^N种选择，所以最后答案是：M^N-M*(M-1)^(N-1)。

代码如下：

#include<cstdio>
#define LL long long
using namespace std;
const LL tt=100003;
LL n,m,ans;
LL qsm(LL x,LL y){
    LL ans=1,w=x%tt;
    for(;y;y>>=1){if(y&1) ans=(ans*w)%tt;w=(w*w)%tt;}
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%lld%lld",&m,&n);
    ans=qsm(m,n);
    ans=(ans+tt-(m*qsm(m-1,n-1))%tt)%tt;
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}