动态规划

动态规划的基本思想

动态规划是分治思想的延伸，通俗一点就是大事化小，小事化无的艺术。在将大问题化解为小问题的分治过程中，保存对这些小问题已经处理好的结果，并供后面处理更大规模的问题时直接使用这些结果。

动态规划的特点

动态规划具备以下三个特点：
1把原来的问题分解成了几个相似的子问题
2所有的子问题都只需要解决一次
3储存子问题的解

动态规划的本质

动态规划的本质，是对问题状态的定义和状态转移方程的定义（状态以及状态之间的递推关系）
动态规划问题一般从以下四个角度考虑
1状态定义
2状态间的转移方程定义
3状态初始化，确定的值，不以输入的变化而变化，或者是空状态（尽量有意义）
4返回结果

状态定义的要求：定义的状态一定要形成递推关系。
三特点四要素两本质

适用场景

最大值/最小值、可不可行、是不是、方案个数

例一：斐波那契数列

int Fib(int n)
{
	if(n<=0)
		return 0;
	if(n==1 || n==2)
		return 1;
	return Fib(n-1)+Fib(n-2);
}

n>2时，O(2ⁿ)栈溢出，重复计算
状态：F(i)数列dii项的值
递推：F(i)=F(i-1)+F(i-2)
状态初始化：F(1) = F(2) = 1 F(0) = 0
返回结果：F(n)

//动态规划
#include<vector>
int FibDp(int n)
{
	if(n<=0)
		return 0;
	vector<int> fab(n+1,0);
	//初始化
	fab[0] = 0;
	fab[1] = 1;
	//状态递推
	for(int i = 2; i<=n; i++)
	{
		//F(i) = F(i-1)+F(i-2)
		fab[i] = fab[i-1]+fab[i-2];
	}
	//返回结果F(n)
	return fab[n];
}

上述代码的空间复杂度为O(n)，可以优化为O(1)利用三个临时变量来代替数组

例二 变态青蛙跳台阶

状态：F(i)，青蛙跳上台阶的方法数
递推：
跳上1阶，2阶，…n阶
跳1阶，还剩n-1 ----> F(n-1)
跳2阶，还剩n-2 ----> F