2019牛课多校第五场G-subsequence 1

最新推荐文章于 2021-08-01 10:36:46 发布

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本文介绍了一种解决G-subsequence问题的算法，通过组合数学和动态规划技术，计算一个字符串中大于另一个字符串的子序列数量。算法分为两部分：一是计算所有大于目标字符串的非零开头子序列；二是计算恰好大于目标字符串且长度相等的子序列。

G-subsequence 1 (dp+组合数学)

题意

给出两个字符串a和b且 $len(b)≤len(a),len(b)\leq len(a) ,$ 问 $a$ 中有多少大于 $b$ 的子序列

题解

答案分为两部分
$n = l e n (a), m = l e n (b)$
1、任何非零开头长度大于 $l e n (b)$ 的子序列都符合条件，这部分可以用组合数学来完成
$ans=∑i=1len(a)∑j=mn−i(n−ij)(a[i]≠′0′)ans=\sum_{i=1}^{len(a)}\sum_{j=m}^{n-i}{n-i\choose j}(a[i]\neq {'0'})$
稍微解释一下，为什么是 $(n−ij){n-i\choose j}$
因为 $a [i]$ 为选择的首位字符，这个子序列的长度要大于m，所以要在剩下的 $n - i$ 个字符中至少选 $j,(m≤j≤n−i)j,(m\leq j\leq n-i)$ 个字符，是组合数。
2、第二部分是长度为 $l e n (b)$ 且大于 $b$ 的子序列数量
设 $d p [i] [j]$ 是后 $i$ 个字符组成的后缀中，长度为 $j$ 符合条件子序列的个数
状态转移方程如下
$\begin{cases} dp[i-1][j]&a[i]<b[j]\\ dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]&a[i]=b[j]\\ dp[i-1][j]+{i-1\choose j-1}&a[i]>b[j] \end{cases}$
$d p [n] [m]$ 即为这部分的和

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long int LL;
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define sccc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
#define mkp(a,b) make_pair(a,b)
#define F first
#define ep(a) emplace_back(a)
#define S second
#define pii pair<int,int>
#define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define MID(l,r) (l+((r-l)>>1))
#define ll(o) (o<<1)
#define rr(o) (o<<1|1)
const int INF = 0x3f3f3f3f ;
const int maxn = 3000+100;
const double pi = acos(-1.0);
int T,n,m;

typedef long long LL;const LL mod=998244353;
LL comb[maxn][(maxn>>1)+1];
inline LL C(int n,int k){
    if(k>n)return 0;
    k = min(k,n-k);
    return comb[n][k];
}
void solve(){
    for(int i = 0;i<maxn;i++){
        comb[i][0] = 1;
        for(int j = 1;j<=(i>>1);j++){//j<=i/2
            comb[i][j] = (C(i-1,j-1) + C(i-1,j))%mod;
        }
    }
}
char a[maxn],b[maxn];
LL dp[maxn][maxn];
int main(){
    memset(comb,0,sizeof(comb));
    solve();
    cin>>T;
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<=m;j++)dp[i][j]=0;
        }
        scanf("%s%s",a+1,b+1);
        LL ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(a[i]=='0')continue;
            for(int j=m;j<=n-i;j++){
                ans=(ans+C(n-i,j))%mod;
            }
        }
        reverse(a+1,a+1+n);
        reverse(b+1,b+1+m);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                if(a[i]<b[j])dp[i][j]=dp[i-1][j];
                else if(a[i]==b[j])dp[i][j]=(dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j])%mod;
                else dp[i][j]=(dp[i-1][j]+C(i-1,j-1))%mod;
            }
        }
        ans=(ans+dp[n][m])%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
   // system("pause");
    return 0;
}