HDU---3037：Saving Beans【卢卡斯定理】

最新推荐文章于 2021-09-23 19:38:10 发布

KobeDuu

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分类专栏：算法竞赛文章标签：卢卡斯定理

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本文探讨了HDU-3037题目中将松果分配到多棵树上的组合计数问题，利用插板模型和卢卡斯定理解决大数除法逆元不存在的情况，提供了一种高效求解方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目:

HDU - 3037

题意：

把 m 个松果最多分到 n 颗树上，求有多少种分法

分析：

设第 i 颗树上放 Xi 个，无非等价于求解下式解的个数

$X_1+X_2+X_3+......+X_k=M$

由插板模型可得答案为： $C_{m+k-1}^{k-1}$

而 1 =< k <= n，所以最终答案为：

$\sum_{1}^{n}C_{m+k-1}^{k-1}~~(mod~p)$

$=C_{m}^{0}+C_{m+1}^{1}+C_{m+2}^{2}+......+C_{m+k-1}^{m}$

$=C_{m+1}^{0}+C_{m+1}^{1}+C_{m+2}^{2}+......+C_{m+k-1}^{m}$

$=C_{m+2}^{1}+C_{m+2}^{2}+......+C_{m+k-1}^{m}$

$=C_{m+n}^{m}~~(mod~p)$

$\frac{(m+n)*(n+m-1)*......*(n+1)}{m!}~~(mod~p)$

如果 m < p 可直接求个逆元即可，若m > p，则m！和 p 一定不互质，这就不能求出逆元，这时有个叫卢卡斯的站了起来：

卢卡斯定理：

$C_m^n=C_{m~mod~p}^{n~mod~p}*C_{m/p}^{n/p}~~(mod~p)$

若 m/p 任然大于 p，递归求解就可

代码：

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll Pow(ll a,ll p)
{
    ll ans = 1;
    ll x = p-2;
    while(x)
    {
        if(x&1) ans = ans*a%p;
        a = a*a%p;
        x>>=1;
    }
    return ans%p;
}
ll cal(ll n,ll m,ll p)
{
    if(m>n) return 0;
    ll res = 1;
    for(int i=n;i>n-m;--i)
        res = res*i%p;
    ll a = 1;
    for(int i=1;i<=m;++i)
        a = a*i%p;
    return res*Pow(a,p)%p;
}
ll Lucas(ll n,ll m,ll p)
{
    if(m<p) return cal(n,m,p);
    else return cal(n%p,m%p) * Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
int main()
{
    ll t,n,m,p;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m>>p;
        cout<<Lucas(n+m,m,p)<<endl;
    }
    return 0;
}