二分查找模板(y总版)

二分查找模板

首先先上模板，y总（B站大雪菜）总结出来了两套二分的代码，基本能解决九成左右的二分问题.二分在特别的边界问题上可以选用此模板作为参考。当然在一些简单的边界问题上，可以自己思考边界来自己写代码。

版本一

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时，其更新操作是r = mid或者l = mid + 1;计算mid时不需要加1。

int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1; //除2 操作
        if (check(mid)) r = mid; //check函数即为边界的选择
        else l = mid + 1;
    }
    return l; //l r都可以，跳出while r = l
}

版本二

当我们将区间[l, r]划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时，其更新操作是r = mid - 1或者l = mid;此时为了防止死循环，计算mid时需要加1。

int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1; //注意+1操作
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

代码解释（来自B站大雪菜老师讲解，加些自己的理解）

如图我们把一个闭区间[l, r]，分为左右两端（我们要明白，对于二分算法来说，数据在某种意义上是有序的，或者是直接有序，例如非递减。或者是以其他的形式有序，例如旋转有序。）再者，因为二分是抛弃一段，从另一段中继续寻找答案，所以我们就可以把整个过程一直当做是两段中选一段。其实分段的这个过程就是check()函数的确定。

$①$对于模板一，我们就好比在查找图中绿色段中的左端点。如果我们的mid在红色段，肯定是不符合查找需求的，让l = mid + 1。如果mid是在绿色段，即符合我们的查找需求，但不是结束点，让r = mid。
$②$对于模板二，我们就好比在查找图中红色段中的右端点。如果我们的mid在绿色段，肯定是不符合查找需求的，让r = mid - 1。如果mid是在红色段，即符合我们的查找需求，但不是结束点，让l = mid。此时我们需要注意一点。即陷入死循环，举例：我们取下标l = r - 1,如果我们在计算时选择下取整（直接除2），m = (l + r) / 2 = (2 * l + 1) / 2 = l，我们再次更新l = mid，就陷入了死循环。

例题

LeetCode 69. x 的平方根

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        int l = 0, r = x;
        while(l < r)
        {
            int mid = (long long)l + r + 1 >> 1;  //check函数 mid * mid <= x
            if(mid <= x / mid) l = mid;
            else r = mid - 1;

        }
        return l ;
    }
};

此时有读者按照上面的讲解，就在想，check函数能不能使用 mid * mid >= x。当然这种想法是没问题的。现学现用，但是我们来看这个题目的样例二，明显的给我们表明了，我们对于不能整数开平方的数来说，需要舍去小数，即下取整。当我们使用 mid * mid >= x 当x是整数的开平方数的话，自然是没有问题的，但当x不能被整开平方，我们的这个check最后取得结果就是上取整，不符合题意。
所以当我们在选择check条件的时候也不是随便两个模板换着用，一切以符合题意为主。

LeetCode 35. 搜索插入位置

这个题目就是简单的寻找有序数组中第一个大于等于target的位置，c++STL中有lower_bound（）

return lower_bound(nums.begin(),nums.end(),target) - nums.begin();

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
        if(nums.empty() || nums.back() < target) return nums.size();
        int l = 0, r = nums.size() - 1;
        while(l < r)
        {
            int mid = (l + r) / 2;
            if(nums[mid] < target) l = mid + 1;
            else r = mid;
        
        }
        return l;
    }
};

这个题目就是边界选择，而且这个题目的check是可以改变的，画个图理解l， r的变化。

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