出售金鱼问题 AC于2018.7.26

本文介绍了一道数学问题——出售金鱼问题,并提供了一个通过递归算法求解该问题的C++程序实现。该问题涉及如何逆向计算出原始数量,确保在每次交易中金鱼都不能被分割。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目描述

出售金鱼问题:第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼;第二次卖出乘余金鱼的三分之一加三分之一条金鱼;第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼;第四次卖出剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼;现在还剩下11条金鱼,在出售金鱼时不能把金鱼切开或者有任何破损的。问这鱼缸里原有多少条金鱼?

输入输出格式

输入格式:

5(天)

输出格式:

最终答案

输入输出样例

输入样例#1: 

输出样例#1: 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
float skvj(int n)
{
    if(n==1)
    return 11;
    return (skvj(n-1)*(7-n)+1)/(6-n);
}
int main()
{
    printf("%.0f",skvj(5));
    return 0;
}

 

<think>嗯,用户想了解递归算法在金鱼出售问题中的应用。这个问题是关于分五次出售金鱼,每次卖出特定比例分数,最后剩下11,求原来有多少。我需要结合递归来解决这个问题,同时参考提供的引用内容。 首先,我需要理解问题的数学模型。根据引用[3]和[4],每次卖鱼后的剩余量可以用递推公式表示。例如,第j次卖鱼前有x,卖出后剩余x - (x+1)/(j+1)。这个公式必须保证x+1能被j+1整除,否则无法整卖出。所以递归的时候需要检查这个件。 递归的思路通常是逆向或正向。这里可能需要逆向,因为已知最后剩下11,要倒推初始值。比如,假设第4次之后剩下11,那么第四次卖鱼前的数量可以通过11来计算。然后递归地计算第三次、第二次等之前的数量,直到找到初始值。 不过递归的终止件是什么呢?应该是在处理完所有五次出售后,验证初始值是否满足所有件。或者可能正向递归,尝试可能的数值,但这样效率可能不高。不过根据引用[3],他们用的是穷举法,从23开始步长2,这可能更适合循环而非递归。但用户特别询问递归的应用,所以得想如何将穷举与递归结合。 或许可以设计一个递归函数,尝试可能的初始值,并验证每一步是否满足件。例如,从某个猜测值开始,递归地检查每一次卖鱼是否符合整除件,若所有五次都通过,则返回该值作为解。 比如,假设递归函数的参数是当前剩余的鱼数current和当前是第几次卖鱼step,从step=4开始(因为第五次卖出后剩下11,所以第四次之后是11)。然后逆向计算第四次卖鱼前的数量,然后递归到第三次,直到step=0,得到初始值。 不过根据引用[5]中的方法,他们逆向计算,可能可以用递归。比如,已知剩余m,求第j次卖鱼前的数量。递归的终止件是j=0,返回初始值。 比如,函数reverse_calculate(step, remaining)表示在第step次卖鱼后剩下remaining,求初始数量。当step=0时,就是初始值。否则,计算第step次卖鱼前的数量,并递归调用step-1。 每次计算时,必须满足remaining = x - (x+1)/(step+1),因此x = (remaining * (step+1) +1 ) / step。需要确保这个x是整数,否则当前路径无效,需要回溯。 比如,对于step=4,remaining=11,计算第四次卖鱼前的x是否满足x = (11*5 +1)/4 =56/4=14。14是否满足第四次卖鱼后的剩余?验证:14 - (14+1)/5 =14-15/5=14-3=11,正确。然后递归到step=3,remaining=14,计算第三次卖鱼前的数量:x=(14*4 +1)/3=57/3=19,检查是否整数,是的。继续递归直到step=0,得到初始值。 这样,递归函数从step=4开始,到step=0结束,每一步计算x,并检查是否整数,如果中间某步不满足,则返回错误,否则继续。这可能是一个可行的递归方法。 但如何用代码实现呢?可能需要一个递归函数,每次计算前一步的x,并传递下去。当step=0时,返回x作为初始值。 根据引用[4]中的Java代码,他们用循环来穷举可能的初始值,并检查每次卖鱼后的剩余。但递归的话,可能需要从已知的剩余11,逆向推导到初始值。 所以,递归的步骤是: 1. 定义函数,参数为当前步骤step和当前剩余鱼数remaining。 2. 当step为0时,返回remaining作为初始值。 3. 否则,计算前一步的鱼数x = (remaining*(step+1) +1)/step。 4. 检查x是否为整数,如果是,递归调用step-1,参数为x。 5. 如果任何一步x不是整数,返回错误或继续寻找。 但递归需要处理所有可能的路径,可能需要回溯。或者,由于这个问题只有一个解,可能直接返回正确的值。 例如,在Python中,可以这样实现: def reverse_calculate(step, remaining): if step == 0: return remaining x = (remaining * (step +1) + 1) / step if not x.is_integer(): return None return reverse_calculate(step -1, int(x)) 然后调用reverse_calculate(4,11),得到初始值。但是根据引用[4]中的解,初始值是59。让我们试一下: step=4, remaining=11: x=(11*5 +1)/4 =56/4=14 →整数。递归调用step=3, remaining=14. step=3: x=(14*4 +1)/3=57/3=19 →整数。递归step=2, remaining=19. step=2: x=(19*3 +1)/2=58/2=29 →整数。递归step=1, remaining=29. step=1: x=(29*2 +1)/1=59/1=59 →整数。递归step=0,返回59. 所以递归正确。这说明递归的方法可行,只需要从step=4开始,逆向计算,每一步都检查是否整数。 所以,递归算法可以应用在这里,通过逆向推导每一步的鱼数,确保每一步都满足整除件,最终得到初始值。 总结,递归的思路是逆向计算每一次卖鱼前的数量,每一步确保当前剩余量满足件,并最终得到初始值。这种方法与循环的穷举法不同,但同样有效。</think>### 递归算法在金鱼出售问题中的实现 #### 问题分析 金鱼出售问题要求通过逆向递推计算原始金鱼数量。已知第5次出售后剩余11金鱼,每次出售的规则为: 第$j$次卖出余下的$\frac{1}{j+1}$$\frac{1}{j+1}$,剩余数量满足递推公式: $$x_{j} = x_{j-1} - \frac{x_{j-1}+1}{j+1}$$ 其中$x_{j}$表示第$j$次卖鱼后的剩余量,且$x_4=11$。需逆向推导出初始值$x_0$[^3][^4]。 --- #### 递归算法设计 1. **逆向递推公式** 已知第$j$次卖鱼后的剩余量$x_j$,递推前一步的剩余量$x_{j-1}$需满足: $$x_{j} = x_{j-1} - \frac{x_{j-1}+1}{j+1} \quad \Rightarrow \quad x_{j-1} = \frac{x_j \cdot (j+1) + 1}{j}$$ 此公式要求$x_{j-1}$必须为整数,否则当前路径无效[^5]。 2. **递归终止件** - 当递推到第0次(初始状态)时,返回$x_0$。 - 若中间某步无法整除,则终止当前分支。 3. **Python实现代码** ```python def reverse_calculate(step, remaining): if step == 0: return remaining # 计算前一步的剩余量 numerator = remaining * (step + 1) + 1 if numerator % step != 0: return None # 无法整除,路径无效 prev_remaining = numerator // step # 递归验证前一步 result = reverse_calculate(step - 1, prev_remaining) return result # 从第4次卖鱼后剩余11开始逆向计算 initial_fish = reverse_calculate(4, 11) print(f"原来鱼缸中共有{initial_fish}金鱼。") ``` --- #### 算法验证 1. **递推过程** - 第4次卖鱼后剩余11,计算第3次卖鱼前数量: $$x_3 = \frac{11 \times 5 + 1}{4} = 14$$ - 第3次卖鱼后剩余14,计算第2次卖鱼前数量: $$x_2 = \frac{14 \times 4 + 1}{3} = 19$$ - 第2次卖鱼后剩余19,计算第1次卖鱼前数量: $$x_1 = \frac{19 \times 3 + 1}{2} = 29$$ - 第1次卖鱼后剩余29,计算初始数量: $$x_0 = \frac{29 \times 2 + 1}{1} = 59$$ 最终得到初始值为59,与引用[4]一致。 --- #### 关键点说明 1. **整数约束**:每一步必须验证$x_{j-1}$为整数,否则路径无效。 2. **逆向递归**:从已知结果逆向推导,避免正向穷举的低效性。 3. **复杂度**:时间复杂度为$O(n)$,其中$n$为递归深度(固定为4次)。 ---
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值