第二章：整数规划

2.1 基本概念

整数规划：数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数
目前只能求解整数线性规划
整数规划的解有如下三种情况：

1. 没有可行解（最优解不是整数）
2. 存在最优解（最优解为整数）
3. 有可行解（最优解值变差）

2.2 0-1整数规划

定义：变量x仅取值0或1，即0-1变量

2.2.1 相互排斥的约束条件

1. 引进一个充分大的数，削弱取一种情况时另一种情况下的约束条件
2. 改为普通的约束条件（不常用）

若有m个互相排斥的约束条件

需保证只有一个起作用，则引进m个0-1变量：

和一个充分大的常数M，则有：

2.2.2 混合整数规划（固定费用）

定义：变量部分限制为整数
可用约束条件：

y为引入的0-1变量，$\epsilon$为充分小的正常数，M为充分大的正常数
上式即代替了该分段函数：

2.2.3 指派问题

关键：给出系数矩阵C
规划模型为：（x为引入的0-1变量）

2.3 蒙特卡洛法（随机取样法）

目的：求解非线性整数规划
matlab程序如下：
  定义目标函数 f 和约束向量函数 g

mente.m
function [f,g]=mengte(x);
f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-...
%...表示续行
x(4)-2*x(5);
g=[sum(x)-400
x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800
2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200
x(3)+x(4)+5*x(5)-200];
%每行代表一个约束条件

  求解问题

rand('state',sum(clock));  %初始化随机数发生器
p0=0;
tic    %计时开始
for i=1:10^6
   x=randi([0,99],1,5); %产生1行5列的区间[0,99]上的随机整数数
   [f,g]=mengte(x);
   if all(g<=0)
       if p0<f
           x0=x; p0=f; %记录下当前较好的解
       end
   end
end
x0,p0
toc    %计时结束

2.4 整数线性规划的计算机求解

matlab求解混合整数线性规划，用intlinprog函数，但必须把所有的决策变量化成一维决策变量，即需要做变量替换。
  标准形式为：


（A，Aeq为矩阵，其余变量均为列向量）
有指派问题的matlab程序：
  需要把x变为一维决策变量

clc, clear
c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5
   8 4 2 3 5;9 10 6 9 10];
c=c(:);%按列拉直
a=zeros(10,25); 
intcon=1:25;
for i=1:5
   a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1;
   a(5+i,i:5:25)=1;
end
b=ones(10,1); lb=zeros(25,1); ub=ones(25,1);
x=intlinprog(c,intcon,[],[],a,b,lb,ub);
x=reshape(x,[5,5])

附：数学规划问题用lingo解决更简单方便，此处不过多讲解。