计算几何学 | 几何对象的基本元素与表现 | C/C++实现

点与向量

用程序求解几何问题，先要想办法用编程中的数据结构来表示几何对象。这里，使用向量就是解决办法之一。

我们将既有大小又有方向的量称为向量。相对地，只有大小没有方向的量称为标量。为了用数据结构表示向量，将向量考虑成从原点O(0, 0)指向对象点P(x, y)的有向线段。

向量落实在纸面上容易给人带来一种误解，觉得向量可以表示平面上的线段。但实际上，向量只具有大小和方向，而线段却要由两个端点确定，因此用向量表示线段还需要另外规定一个起点。

平面几何中最简单的元素是点(x, y)，我们可以用如下所示结构体或类来实现：

表示点的结构体：

struct Point {
   
    double x, y; };

由于向量也可以仅用一个点来定义，所以我们用和点完全相同的数据结构来表示向量。这里的typedef用来给已有数据类型创建新的名称，这样Point和Vector虽然表示同一个数据结构，却可以视情况分开使用（用于不同意义的函数、变量等）。

表示向量的结构体：

typedef Point Vector;

线段与直线

我们可以用包含两个点（起点p1和终点p2）的结构体或类来表示线段。

表示线段的结构体：

struct Segment {
   
   
	Point p1, p2;
};

要注意区分线段与直线。线段是由两个端点及其间距离定义的具有一定长度的线，而直线是通过两个点且长度无限的线。也就是说，直线由两个不同的点定义，并不具有端点。

直线和线段可以用相同的方法实现。我们用与线段相同的数据结构来表示直线。

表示直线的结构体：

typedef Segment Line;

圆

圆可以用包含圆心c和半径r的结构体或类来表示。

表示圆的类：

class Circle {
   
   
	public:
		Point c;
		double r;
		Circle(Point c = Point(), double r = 0.0): c(c), r(r) {
   
   }
};

多边形

多边形可以用点的序列来表示。

多边形的表示：

typedef vector<Point> Polygon;

向量的基本运算

向量的几种基本运算：
两个向量的和（sum）a + b
两个向量的差（difference）a - b
一个向量的标量倍（scalar multiplication）ka

向量运算可以定义为函数。我们为了更直观地对点对象进行操作，选择将点的结构体或类之间的运算定义为运算符。C++允许我们对运算符进行定义。

定义点/向量间的运算符：

double x, y;
Point operator + (Point &p) {
   
   
	return Point(x + p.x, y + p.y);
}

Point operator - (Point &p) {
   
   
	return Point(x - p.x, y - p.y);
}

Point operator * (double k) {
   
   
	return Point(x * k, y * k);
}

x、y表示相应类中的点，p表示对象点。
定义运算符之后，向量间的运算便可以用下面的方法描述了。

向量间的运算示例：

Vector a, b, c, d;
c = a - b;//向量的差
d = a * 2.0;//向量的标量倍

向量的大小

向量$a=(a_x,a_y)$的大小|a|（absolute，a的绝对值）就是原点到表示向量的点的距离。除此之外，还有表示向量大小的平方的概念，称为范数（norm）。

我们可以这样实现一个以向量为参数，返回该向量大小及范数的函数。

向量的范数及大小：

double norm(Vector a) {
   
   
	return a.x * a.x + a.y * a.y;
}

double ab