Haffman树的构造-----O(n*log(n))的做法

最新推荐文章于 2023-11-29 20:21:06 发布

一枚研究生er

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_40938077/article/details/85037762

本文详细介绍了两种构造哈夫曼树的方法，并提出了一种优化方案，将构造时间从O(n^2)降低到O(n*log(n))。优化的关键在于避免了每次合并后保持数字串有序性的操作，通过使用栈和队列来快速找到并合并最小的两个数字。

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如何构造Haffman树：

首先给定一串数字串。

第一种构造过程：

第一步：将权值从小到大排序。

第二步：选两个权值最小的数字，从数字串中删除，将这两个数字相加合并，将合并后的结果加入到数字串中去，同时要保持数字串的有序性。

第三步：重复第二步直到数字串中只有一个数，算法结束。

通过上面的算法过程，如果我们写出常规的代码的话，时间复杂度肯定是O(n^2)的，刚开始的排序的时间复杂度为O(n*log(n))，我们对于所有数字都要进行相加合并操作，这是O(n)的，对于每次合并操作完成后，我们还要将合并后的结果插入到数字串的相应位置（以保持数字串的有序性），这个过程也是O(n)的，所以总的时间复杂度为O(n^2)；对于这个构造过程，我们无法进行优化。

第二种构造过程：

第一步：将权值从小到大排序。

第二步：选两个权值最小的数字，从数字串中删除，将这两个数字相加合并，将合并后的结果加入到数字串中去，不需要保持数字串的有序性，随便加入到一个位置就行。

第三步：重复第二步直到数字串中只有一个数，算法结束。

这种构造过程，常规代码的时间复杂度也是O(n^2).。排序的时间复杂度为O(n*log(n))，我们对于所有数字都要进行相加合并操作，这是O(n)的，对于每次合并操作完成后，因为我们是将结果随便加入到数字串中去的，所以我们还要找出数字串中前两小的数字，这个过程的时间复杂度也是O(n)的，所以总的时间复杂度为O(n^2)，对于这个构造方法，我们可以进行优化。

优化思路：

对于第二种构造方法，我们无法避免对所有的数字进行合并操作这O(n)的时间复杂度，但是我们可以将每次找前两小的数字这一操作的时间复杂度降低到O(1)，由于排序的存在，所以总的时间复杂度为O(n*log(n))。

首先，我们定义一个栈，一个队列，我们将所有数字按从大到小的顺序存入栈q1中去。队列q2为空。

然后，从栈中弹出栈顶两个元素，相加，将得到的结果放入队列中去。

下面的逻辑就是每次从队列的队头两个数字，栈的栈顶两个数字中选出两个较小的相加，将相加的结果放入到队列中去。

最终，这个Haffman树在O(n*long(n))的时间内被构造出来。

代码：

具体的实现有很多情况。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<limits.h>
#include <sstream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<set>
#define mod 1000000007
#define MAXN 100001
typedef long long ll;
using namespace std;
int n;
int arr[MAXN];
int Haffman()
{
    stack < int > q1;
    queue < int > q2;
    for(int i=n;i>=1;i--)
        q1.push(arr[i]);
    int ret=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int sum=0;
        if(q1.size()==0)//下面是几种情况
        {
            if(q2.size()>=2)
            {
                sum+=q2.front();
                q2.pop();
                sum+=q2.front();
                q2.pop();
            }
            else if(q2.size()==1)
                return q2.front();
        }
        else if(q1.size()==1)
        {
            if(q2.size()>=2)
            {
                sum+=q2.front();
                q2.pop();
                int Q1=q1.top();
                int Q2=q2.front();
                sum+=min(Q1,Q2);
                if(Q1>=Q2)
                    q2.pop();
                else
                    q1.pop();
            }
            else if(q2.size()==1)
                return q1.top()+q2.front();
        }
        else if(q1.size()>=2)
        {
            if(q2.size()==0)
            {
                sum+=q1.top();
                q1.pop();
                sum+=q1.top();
                q1.pop();
            }
            else if(q2.size()==1)
            {
                sum+=q1.top();
                q1.pop();
                int Q1=q1.top();
                int Q2=q2.front();
                sum+=min(Q1,Q2);
                if(Q1>=Q2)
                    q2.pop();
                else
                    q1.pop();
            }
            else
            {
                sum+=q1.top();
                q1.pop();
                sum+=q1.top();
                q1.pop();
            }
        }
        q2.push(sum);//往队列中加入合并后的结果
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>arr[i];
    sort(arr+1,arr+n+1);
    cout<<Haffman()<<endl;
}