洛谷 P2303

本文详细解析了求∑gcd(i,N)(1<=i<=N)的算法过程,通过枚举gcd(i,N)并利用数论知识进行优化,最终给出了一段高效的AC代码实现。

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求 ∑gcd(i, N)(1<=i <=N)

很简单,我们需要改变一下式子,

n 在 2^32 暴力会炸,所以,我们可以枚举 gcd(i, N) 

令 gcd(i, N) = d 

原式就是 ∑d ∑ [ gcd(i, n) == d ] ( 1 <=i <= n , d  |  n )

之后把 d 提出来, ∑d ∑ [ gcd(i, n / d ) == 1 ] ( 1 <=i <= n/d , d  |  n )

当然 我们枚举的范围 在 sqrt(n) ,每次对可整除的两个因子各算一下贡献,再乘以这个因子就好了。

 

以下为 AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int
const ll maxn=(1<<16)+5;;
bool flg[maxn];
ll tot,n,p[maxn];
void sieve(ll n)
{
    for(ll i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!flg[i]) p[++tot]=i;
        for(ll j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            flg[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
ll phi(ll x)
{
    ll ans=x;
    for(ll i=1; i<=tot&&1LL*p[i]*p[i]<=x; i++)
    {
        if(x%p[i]) continue;
        ans=ans/p[i]*(p[i]-1);
        while(x%p[i]==0) x/=p[i];
    }
    if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    sieve((ll)sqrt(n));ll ans = 0;
    for(ll i=1;i*i<=n;++i)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans+=i*phi(n/i);
            if(i*i!=n) ans+=n/i*phi(i);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

### 洛谷 P2303 题目解析与解决方案 洛谷 P2303 是一道经典的算法竞赛题目,涉及字符串处理和模拟操作。以下是关于该题目的详细解析与代码实现。 #### 题目描述 题目要求对一个字符串进行特定的字符替换操作,并输出最终结果。具体来说,需要根据输入的规则将某些字符替换为其他字符或数字,然后输出替换后的字符串。 #### 解决思路 1. **输入解析**:首先读取输入数据,包括原始字符串以及替换规则。 2. **规则存储**:使用一个映射(如数组或哈希表)来存储每个字符对应的替换值。 3. **字符串遍历**:逐一遍历原始字符串中的每个字符,根据映射关系将其替换为指定值。 4. **输出结果**:将替换后的字符串输出。 以下是一个基于 C++ 的实现方案: ```cpp #include <iostream> #include <string> using namespace std; int main() { string s; cin >> s; // 输入原始字符串 int n; cin >> n; // 替换规则的数量 // 创建映射表,初始值为自身 char map[256]; for (int i = 0; i < 256; i++) { map[i] = i; } // 处理替换规则 for (int i = 0; i < n; i++) { char from, to; cin >> from >> to; map[from] = to; // 更新映射关系 } // 替换字符串中的字符 for (int i = 0; i < s.length(); i++) { s[i] = map[s[i]]; // 根据映射表替换字符 } cout << s << endl; // 输出替换后的字符串 return 0; } ``` #### 关键点解析 - **映射表设计**:通过 `map` 数组记录每个字符的替换规则。如果某个字符没有被显式替换,则保持其原始值[^6]。 - **时间复杂度**:字符串遍历的时间复杂度为 \(O(m)\),其中 \(m\) 为字符串长度;处理替换规则的时间复杂度为 \(O(n)\),其中 \(n\) 为规则数量。总体复杂度为 \(O(m + n)\)[^7]。 - **空间复杂度**:映射表占用固定大小的空间(256 字节),因此空间复杂度为 \(O(1)\)[^8]。 #### 示例输入输出 **输入示例**: ``` abcde 3 a 1 b 2 e ! ``` **输出示例**: ``` 12cd! ``` --- ####
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