洛谷 P2303

最新推荐文章于 2025-05-24 10:31:06 发布

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本文详细解析了求∑gcd(i,N)(1<=i<=N)的算法过程，通过枚举gcd(i,N)并利用数论知识进行优化，最终给出了一段高效的AC代码实现。

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求 ∑gcd(i, N)(1<=i <=N)

很简单，我们需要改变一下式子，

n 在 2^32 暴力会炸，所以，我们可以枚举 gcd(i, N)

令 gcd(i, N) = d

原式就是 ∑d ∑ [ gcd(i, n) == d ] ( 1 <=i <= n , d | n )

之后把 d 提出来， ∑d ∑ [ gcd(i, n / d ) == 1 ] ( 1 <=i <= n/d , d | n )

当然我们枚举的范围在 sqrt(n) ，每次对可整除的两个因子各算一下贡献，再乘以这个因子就好了。

以下为 AC 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int
const ll maxn=(1<<16)+5;;
bool flg[maxn];
ll tot,n,p[maxn];
void sieve(ll n)
{
    for(ll i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!flg[i]) p[++tot]=i;
        for(ll j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;j++)
        {
            flg[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
ll phi(ll x)
{
    ll ans=x;
    for(ll i=1; i<=tot&&1LL*p[i]*p[i]<=x; i++)
    {
        if(x%p[i]) continue;
        ans=ans/p[i]*(p[i]-1);
        while(x%p[i]==0) x/=p[i];
    }
    if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    sieve((ll)sqrt(n));ll ans = 0;
    for(ll i=1;i*i<=n;++i)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans+=i*phi(n/i);
            if(i*i!=n) ans+=n/i*phi(i);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}