求 ∑gcd(i, N)(1<=i <=N)
很简单,我们需要改变一下式子,
n 在 2^32 暴力会炸,所以,我们可以枚举 gcd(i, N)
令 gcd(i, N) = d
原式就是 ∑d ∑ [ gcd(i, n) == d ] ( 1 <=i <= n , d | n )
之后把 d 提出来, ∑d ∑ [ gcd(i, n / d ) == 1 ] ( 1 <=i <= n/d , d | n )
当然 我们枚举的范围 在 sqrt(n) ,每次对可整除的两个因子各算一下贡献,再乘以这个因子就好了。
以下为 AC 代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long int
const ll maxn=(1<<16)+5;;
bool flg[maxn];
ll tot,n,p[maxn];
void sieve(ll n)
{
for(ll i=2;i<=n;i++)
{
if(!flg[i]) p[++tot]=i;
for(ll j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;j++)
{
flg[i*p[j]]=1;
if(i%p[j]==0) break;
}
}
}
ll phi(ll x)
{
ll ans=x;
for(ll i=1; i<=tot&&1LL*p[i]*p[i]<=x; i++)
{
if(x%p[i]) continue;
ans=ans/p[i]*(p[i]-1);
while(x%p[i]==0) x/=p[i];
}
if(x>1) ans=ans/x*(x-1);
return ans;
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
sieve((ll)sqrt(n));ll ans = 0;
for(ll i=1;i*i<=n;++i)
{
if(n%i==0)
{
ans+=i*phi(n/i);
if(i*i!=n) ans+=n/i*phi(i);
}
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}