Helvetic Coding Contest 2019.A2（位异或+最大公因数）

最新推荐文章于 2024-03-12 14:19:34 发布

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分类专栏： ACM 文章标签：异或

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博客介绍了Helvetic Coding Contest 2019.A2问题，涉及位异或操作和最大公因数（GCD）在解决特定条件下的字符串匹配问题。当GCD(n, k) = 1时，字符串满足特定异或关系；否则，需要字符串的特定子集异或和为0。解决方案包括遍历n的所有因数并检查它们与k的GCD，以找出满足条件的k值。" 88680015,7401031,Laravel 5.6 实战：SMTP驱动邮件发送指南,"['Laravel', '邮件发送']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述
题意：给你一个n和长度为n的“01”串y，问在0<=k<n的范围，有多少个k满足情况，其中k满足情况为：任意一个长度为n的字符串（自己确定）和自身右移k个单位的串，异或是否可以等于y，如果可以则k满足条件为所求

思路：（注意：每个位置的异或，如a1^a3，因为都是01之间的异或，所以全部转换成了（a1+a3）%2，里面的所有实数结果也都对2取模。方便理解和代码书写）
通过分析得知，当gcd（n，k）=1时，如n=4，k=3有：
a0+a3=y3;
a1+a0=y0;
a2+a1=y1;
a3+a2=y2;
如果y1+y2=1，则a1+a3=1，所以y3+y0=1，所以y1+y2+y3+y0=0；
如果y1+y2=0，则a1+a3=0，所以y3+y0=0，所以y1+y2+y3+y0=0；
即y0、y1、y2、y3中必须满足偶数个的0对和1对（即：y1+y2+y3+y0=0）；同理所有gcd（n,k）=1的情况都是如此；

当gcd（n，k）！=1时，如n=6，k=2有：
a0+a2=y2;
a2+a4=y4;
a4+a0=y0;
如果a0=0时，
设a2=1，那么y2=1,且y4+y0=1，所以y2+y4+y0=0；
设a2=0，那么y2=0,且y4+y0=0，所以y2+y4+y0=0;
同理a0=1时，y2+y4+y0=0，所以要位移后满足如条件则有y2+y4+y0=0
同理对于a1,a3,a5有，y1+y3+y5=0；
则若y同时满足y2+y4+y0=0且y1+y3+y5=0，则当k=2时满足情况。
gcd（n，k）！=1时同理，

最后我们还发现，当gcd（n，k1）=gcd(n，k2)时，其实他们列出的关于y0~yn的方程组都是一样的。因此如果1到n中有两数对于n，gcd相同情况，只要有一个满足，则其他的都满足。所以我们只需要对n的所有因数进行处理判断其是否可行，再判断每个数，如果这个数和n的gcd满足条件，那么他本身也满足。

#include <bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(2)
using namespace std;
#define ll long long
#define me(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define zdebug(a) for(int i=0;i<n;i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
#define zdebug1(a) for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";cout<<endl;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxc=200010;
const int mod=1000000007;
char a[maxc];
int v[maxc];//记录满足的K
int b[maxc];
vector<int>s[maxc];
void db(int n){//对1~n里每个数的所有因数打表
    for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=i;j<=n;j+=i)
            s[j].push_back(i);
}
void db1(int n){//保存每个数和n的gcd
    for(int i=1;i<=n/2;i++){
        if(n%i==0){
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
                b[j]=i;
        }
    }
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n;
    cin>>n;
    cin>>a;
    me(v,0);
    int j=0,o=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(a[i]=='0')
            o++;
        else
            j++;
    }
    if(o==n){cout<<n;return 0;}
    db(n);
    db1(n);
    int m=s[n].size();
    for(int i=m-1;i>=0;i--){//判断n的所有因数是否可以满足情况
        if(v[s[n][i]]==1)
            continue;
        int f=0;
        for(int j=0;j<s[n][i];j++){
            int sum=0;
            for(int z=j;z<n;z+=s[n][i])
                sum+=a[z]-'0';
            if(sum%2!=0){//和为则方程组不成立，即此时k不能满足情况
                f=1;
                break;
            }
        }
        if(f==0){
            int k=s[n][i];
            int y=s[k].size();
            for(int x=0;x<y;x++)//若这个因数满足条件，则这个因数自身的所有因数也满足条件
                v[s[k][x]]=1;
        }
    }
    //zdebug1(b);
    for(int i=n-1;i>=1;i--){//判断每个数，如果i和n的gcd满足条件，那么他本身也满足
        int k=b[i];
        if(v[k]==1)
            v[i]=1;
    }
    int sum=0;
    //zdebug1(v);
    for(int i=1;i<n;i++)
        if(v[i]==1)
            sum++;
    cout<<sum;
    return 0;
}