LOJ#10018 数的划分

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题目描述

将整数 n 分成 k 份，且每份不能为空，问有多少种不同的分法。当 n=7, k=3 时，下面三种分法被认为是相同的:1,1,5; 1,5,1; 5,1,1

输入格式

一行两个数 n , k。

输出格式

一行一个整数，即不同的分法数。

样例

样例输入

7 3

样例输出

4

样例解释

四种分法为：1,1,5；1,2,4；1,3,3；2,2,3。

数据范围与提示

6≤n≤200, 2≤k≤6。

 

将整数n分成k份就相当于将n个苹果放入k个篮子里且每个篮子里都至少放入一个苹果，即将（n-k）个苹果放入k个篮子且允许有的篮子为空。

接下来考虑将m个苹果放入k个篮子里（允许有的篮子为空），设f(m,k)为m个苹果放入k个篮子里（允许有的篮子为空）的方法数目；
当k>m时，(k-m)个篮子必定是空的，这些多余的篮子可忽略：if(k>m) f(m,k)=f(m,m)；
当k<=m时，又可分为两种情况，①有一个篮子为空时，这个多余的篮子可忽略：f(m,k)=f(m,k-1)，多于一个篮子为空的情况由f(m,k-1)计算；②全部篮子不为空时，相当于可以至少从每个篮子里拿出一个苹果：f(m,k)=f(m-k,k)；
即:if(k<=m) f(m,k)=f(m,k-1)+f(m-k,k);
边界条件:当m==0时，无方法，定义f=1;当n==1时，所有苹果放在一个篮子里，f=1；

递归：

//优快云博客：https://blog.youkuaiyun.com/qq_40889820
#include<iostream>
#include<sstream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a)
#define e 2.71828182
#define Pi 3.141592654
using namespace std;
int f(int m,int k)
{
	if(m==0||k==1) return 1;
	if(k>m) return f(m,m);
	return f(m-k,k)+f(m,k-1);
}
int main()
{
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	cout<<f(n-k,k);
}

用时：

动态规划：

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#include<iostream>
#include<sstream>
#include<fstream>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define random(a,b) (rand()%(b-a+1)+a)
#define e 2.71828182
#define Pi 3.141592654
using namespace std;
int main()
{
	int n,k;
	int f[201][7];
	cin>>n>>k;
	mem(f,0);
	for(int i=1;i<=k;i++) f[0][i]=1;
	for(int i=1;i<=n-k;i++) f[i][1]=1;
	for(int i=1;i<=n-k;i++)
	{
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			if(j>i) f[i][j]=f[i][i];
			else f[i][j]=f[i-j][j]+f[i][j-1];
		}
	}
	cout<<f[n-k][k];
}

用时：