有用的概率论推论/知识

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本文探讨了随机变量独立性的判断准则，包括联合密度函数的可分离性条件、实际取值区域为矩形域的重要性及如何从联合密度函数求解边缘概率密度函数的有效方法。

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1、设 $(X,Y)\sim f(x,y)$ ，则X与Y相互独立的充要条件是，f(x,y)可分离变量，即存在非负函数g(x)，h(y)，使得 $f(x,y)=g(x)*h(y)$ 。

例：

来源：李德新,陈聪.随机变量独立性的直接判别法[J].高等数学研究,2008,11(4):54-55,57. DOI:10.3969/j.issn.1008-1399.2008.04.016.

引用日期：2018-11-26

备注：函数指的是概率密度函数。注意定义域也要满足条件。

2、若 $(X,Y)\sim f(x,y)$ 中（X,Y）的实际取值区域D不是（有界或无界的）矩形域，则X与Y不相互独立。

例：

来源：李德新,陈聪.随机变量独立性的直接判别法[J].高等数学研究,2008,11(4):54-55,57. DOI:10.3969/j.issn.1008-1399.2008.04.016.

引用日期：2018-11-26

备注：逆否命题若X与Y相互独立则其实际取值区域是矩形域也成立。若其取值范围是矩形域，则X与Y不一定相互独立。

3、由联合密度函数 $f(x,y)$ 求解边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 的一种有效方法：
第一步，明确对哪个变量进行分类讨论。此处是求随机变量X的边缘概率密度函数，所以，下面对变量X进行分类讨论；
第二步，找出 $f(x,y)\neq 0$ 的定义域，并将该区域按x型区域重新表示。
第三步，写出边缘概率密度函数 $f_X(x)$ ，其中 $f_X(x)\neq 0$ ，的X、Y的范围分别是第二步中按X型区域描述的范围，x取其它值时， $f_X(x)= 0$ 。

来源：鞠桂玲,单彩虹,陈平, 等.求边缘概率密度函数的一个有效方法[J].信息系统工程,2018,(5):135.

引用日期：2018-12-6

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