数位DP解决车牌号问题-优快云博客

Problem Description

杭州人称那些傻乎乎粘嗒嗒的人为62（音：laoer）。
杭州交通管理局经常会扩充一些的士车牌照，新近出来一个好消息，以后上牌照，不再含有不吉利的数字了，这样一来，就可以消除个别的士司机和乘客的心理障碍，更安全地服务大众。
不吉利的数字为所有含有4或62的号码。例如：
62315 73418 88914
都属于不吉利号码。但是，61152虽然含有6和2，但不是62连号，所以不属于不吉利数字之列。
你的任务是，对于每次给出的一个牌照区间号，推断出交管局今次又要实际上给多少辆新的士车上牌照了。

Input

输入的都是整数对n、m（0<n≤m<1000000），如果遇到都是0的整数对，则输入结束。

Output

对于每个整数对，输出一个不含有不吉利数字的统计个数，该数值占一行位置。

Sample Input

1 100 0 0

Sample Output

数位DP其实是很灵活的，所以一定不要奢求一篇文章就会遍所有数位DP的题，这一篇只能是讲清楚一种情况，其他情况遇到再总结，在不断总结中慢慢体会这个思想，以后说不定就能达到一看到题目就能灵活运用的水平。（其实DP都是这样……）

这一篇要说的数位DP是一道最简单的数位DP：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089

　　　　　　题目大意：多组数据，每次给定区间[n,m]，求在n到m中没有“62“或“4“的数的个数。

　　　　　　如62315包含62，88914包含4，这两个数都是不合法的。0<n<=m<1000000

试想：我们如果能有一个函数count(int x)，可以返回[0,x]之间符合题意的数的个数。那么是不是直接输出count(m)-count(n-1)就是答案？

好，那么下面我们的关注点就在于怎么做出这个函数。我们需要一个数组。（dp原本就是空间换时间）

我们设一个数组f[i][j]，表示i位数，最高位是j的数，符合题意的数有多少个。比如f[1][2]=1; f[1][4]=0; f[2][6]=8 (60,61,63,64,65,66,67,68,69).

我们先不关注这个f有什么用，我们先关注f本身怎么求。首先f[1][i]=0(if i==4),f[1][i]=1(if i!=4) (0<=i<=9)。这一步是很显然的，那么根据这个题的数据范围，只需要递推到f[7][i]就够用了。那么稍微理解一下，可以想出递推式：

　　f[i][j]=

　　　　if (j==4) f[i][j]=0

　　　　else if (j!=6) f[i][j]=Σf[i-1][k] (k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

　　　　else if (j==6) f[i][j]=Σf[i-1][k] (k=0,1,3,4,5,6,7,8,9)

上面的式子也是很显然的，如果觉得不显然可以这样想：i位数，最高位是j的符合条件的数，如果j是4，肯定都不符合条件（因为题目不让有4），所以直接是0；如果j不是6，那么它后面随便取，只要符合题意就可以，所以是f[i-1][k],k可以随便取的和；如果j是6，后面只要不是2就行，所以是f[i-1][k],k除了2都可以，求和。

这里要说明一下，认为00052是长度为5，首位为0的符合条件的数，052是长度为3首位为0符合条件的数。

那么现在我们已经得到了f数组，再重申一下它的含义：i位数，最高位是j的数，符合题意的数有多少个。

现在我们就要关注怎么利用f数组做出上面我们说的那个函数count(int x)，它可以求出[0,x]中符合题意的数有多少个。

那么我们做这样一个函数int solve(int x) 它可以返回[0,x)中符合题意的有多少个。那么solve(x+1)实际上与count(x)是等价的。

那么现在问题转化成了：小于x，符合题意的数有多少个？

很简单，既然小于，从最高位开始比，必定有一位要严格小于x（前面的都相等）。所以我们就枚举哪一位严格小于（前面的都相等）。

假设我们现在把x分成了a1,a2,...,aL这样一个数组，长度为L，aL是最高位。

那么结果实际上就是这样：长度为L，最高位取[0,aL-1]的所有的符合题意数的和；再加上长度为L-1，最高位取aL，次高位取[0,aL-1-1]的所有符合题意数的和；再加上……；一直到第一位。

上面有一句话之所以标粗体，是因为这句话并不是对的，但是为了好看，就先这样写着。因为我们还需要考虑这种情况：最高位aL如果是4，那么这句话直接就可以终止了，因为粗体这句话前面的那句话“最高位取aL”是不能成立的。还要考虑这种情况：最高位aL如果是6，那么这里并不是能取[0,aL-1-1]的所有（不能取2）。加上这些条件之后就很严谨了。

代码如下：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int dp[10][10];
int digit[10];
void init()
{
    //十位加个位dp，百位加十位dp，千位加百位dp
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=7;i++)
    {
        for(int j=0;j<10;j++)//枚举第i位数上的数字、
        {
            for(int k=0;k<10;k++)//枚举第i-1位上的数字、
            {
                if(!(j==6&&k==2)&&j!=4)//满足条件
                dp[i][j]+=dp[i-1][k];
            }
        }
    }
}
int calchangdu(int n)
{
    int cont=0;
    while(n)
    {
        cont++;
        n/=10;
    }
    return cont;
}
int caldigit(int n,int len)
{
    memset(digit,0,sizeof(digit));
    for(int i=1;i<=len;i++)
    {
        digit[i]=n%10;
        n/=10;
    }
}
int solve(int n)//计算[0,n)符合条件的个数
{
     int ans=0;
     int len=calchangdu(n);
     caldigit(n,len);
     for(int i=len;i>=1;i--)//从最高位开始枚举
     {
         for(int j=0;j<digit[i];j++)
         {
             if(!(j==2&&digit[i+1]==6)&&j!=4)
             {
                 ans+=dp[i][j];
             }
         }
        if(digit[i]==4 || (digit[i]==2 && digit[i+1]==6))//第i位已经不满足条件，则i位以后都不可能满足条件，结束循环
            break ;
     }
     return ans;
}
int main()
{
    init();
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        if(n==0&&m==0)break;
        printf("%d\n",solve(m+1)-solve(n));
    }
}

不要62