每天一道算法题-动态规划求钢筋分割

Dynamic programming 动态规划，与分治法相似，都是通过组合子问题的解来求解原问题，但动态规划是应用于子问题重叠的场景，每个子问题都只求一遍，将解存入表格中，避免不必要的重复工作。

问题：购买长钢条，将其切割为短钢条出售，不同长度的钢条对应不同的价格，希望得到最佳的切割方案使利润最大化。

长度 i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格 p	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

4英寸钢条为例：

通过动态规划，每次寻求子问题的最优解，依次通过求长度为1,2,3。。。。 长度钢筋的最优解得到已知解，从而求已知解以外的 的从小往大遍历求子问题加入的最优解来达到解决问题的办法。

建立结果数组r[]来存储已知问题的最优解，每次通过q临时变量存储p[i]的值来比较，下面以长度为4分析：

（1）i长度为1时，最优解为1，

（2）i长度为2时。最优解为2（不分割）首先得到q=5与已知长度为1的价值最优解为1+r[i-j]=2比较，可得不分割为最优解

（3）i长度为3时，最优解为 3(不分割)， q= 8 =p[3]+r[0] =8 ,q=8>p[2]+r[1]=6，q=8>p[1]+r[2]=6

（4）i长度为4时，最优解为 4=2+2，q=9=p[4]+r[0]，q=9=p[3]+r[1]，q=9<p[2]+r[2] =10 ，此时 q设置为10 ，q=10>p[1]+r[3]=9

代码如下：

package com.ep.rabbitmq.test;

import java.util.Scanner;

/**
 * @author zht
 * @version 1.0
 * @createDate 2020/06/22 12:30
 */

public class Cut {
    public static void main(String [] args)
    {
        int []p={0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
        int []r=new int[p.length];
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        int n=scanner.nextInt();
        //分四步动态规划 分别求长度1到4的最优解
        for (int i=1;i<=n;i++){
            //存储不切割临时变量
            int q=p[i];
            //求长度为i的钢筋的最优价值
            for (int j=1;j<=i;j++){
                //核心算法：q起始值为不分割钢筋价值，一次从1遍历到i，将p[j]与前面r[i-j]的值求和，
                // r[i-j]中存放的是已知问题的最优解，而且相对于p[j]的价值最大，因为p[j]和q[i-j] 下标相加i
                // 满足下标长度为i的固定长度，从而实现了已知问题部分最优解，求子问题的最优解直到算出答案。
                q=Math.max(q,p[j]+r[i-j]);
            }
            r[i]=q;
        }
        System.out.println(r[n]);
    }

}