POJ - 2893 M × N Puzzle （八数码问题是否有解）

题意：

就是通过移动空格（用0代替）使得原来状态变成有序的1234......0

分析：

以数组为一维的举例子.
将八数码的一个结点表示成一个数组a[9]，空格用0表示，设临时函数p(x)定义为：x数所在位置前面的数比x小的数的个数，
其中0空格不算在之内，那设目标状态为b[9]，那r=sigma(p(x)) sigma()表示取所有的x:1-8并求和，
那对于初始状态a[9]，t=sigma(p(x))，如果r和t同为奇数或者同为偶数，那么该状态有解，否则无解。

考虑到四种移动方法对sigma(p(x))的影响，左移和右移是不会影响它的值的，
更不会影响奇偶性，如果是上移或者下移就会影响：
上移:一次上移会使一个元素向前跳两个数字的位置，设这两个数字为a1,a2，
不妨设a1<a2，移的这个数字设为a0，那无非只有以下三次情况：
1，a0<a1<a2，考虑它们三者的p(x)值，p(a0)不变，p(a1)++，p(a2)++，总体增加了2
2，a1<a0<a2，p(a0)--,p(a1)不变,p(a2)++，总体不变
3，a1<a2<a0，p(a0)-=2,p(a1),p(a2)不变，总体减小了2

综合起来的结论就是不会影响sigma(p(x))的奇偶性。

接着考虑列数的奇偶。

-------------0***********

***********x-------------

x是任意数，现在要把x移上去，那么***********中，假设有a个大于x，b个小于x，那么移动之后逆序数就会加上一个b-a，x所能影响的也就是这些罢了，除此之外，其他都不变。

那么******的个数就是奇数，b,a奇偶性互异，b-a为奇数，所以移动一次后，原序列的逆序数的奇偶性变了。

考虑到最后0会移动到最后一行，所以奇偶性会改变n-i次(i为0的行数)，只需判断最后是否是偶数即可。

反之，如果列数为奇数，那么******的个数就是偶数，b,a奇偶性相同，b-a为偶数，所以移动一次后，原序列的逆序数的奇偶性没变。

因为无论怎么移，奇偶性都不变，所以说一开始初态的奇偶性就必须与末态一致。

#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

const int maxn=1e6+10;

int a[maxn],c[maxn];

int lowbit(int i){
    return i&(-i);
}

void insert(int i,int x){
    for(;i<maxn;i+=lowbit(i)){
        c[i]+=x;
    }
}

int getsum(int i){
    int sum=0;
    for(;i;i-=lowbit(i)){
        sum+=c[i];
    }
    return sum;
}

int main(){

    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)&&(n||m)){
        int x,sum=0,num=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                int b;
                scanf("%d",&b);
                if(b){
                    a[num++]=b;
                }else x=n-i;
            }
        }
        memset(c,0,sizeof c);
        for(int i=num-1;i>=0;i--){
            sum+=getsum(a[i]-1);
            insert(a[i],1);
        }
        if(m&1){
            if(sum&1) printf("NO\n");
            else printf("YES\n");
        }else {
            if((x^sum)&1) printf("NO\n");
            else printf("YES\n");
        }
    }
    return 0;
}