HDU - 5768（中国剩余定理+容斥定理）

最新推荐文章于 2019-09-18 11:46:03 发布

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本文探讨了在特定条件下，如何使用容斥原理结合中国剩余定理来解决区间内符合特定数学条件的数的计数问题。通过具体的代码实现，展示了如何在[x,y]区间内找出能被7整除但不满足x%pi=ai(1<=i<=n)的数的数量，深入解析了算法思想与步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：

小明认为能被7整除的数能给他带来好运，但是如果这些数存在x%pi=ai(1<=i<=n)的话，它反而会给小明带来坏运。

问[x,y]区间里有多少个数能给小明带来好运？

分析：

明显的容斥题，但在容斥过程中得算x%pi=ai(1<=i<=n)中的x，明显是中国剩余定理。那么在计算过程中，将能被7整除看成%7==0，具体思想看代码。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll m[20];
ll a[20];
bool vis[20];

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    ll tx,ty;
    exgcd(b,a%b,tx,ty);
    ll tmp=tx;
    x=ty;
    y=tmp-(a/b)*ty;
}

ll quick_mu(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1ll){
            ans=(ans+a)%mod;
        }
        b>>=1;
        a=(a<<1)%mod;
    }
    return ans;
}

ll count(ll M,ll ans,ll x){
    return (x-ans+M)/M; //可以理解为(x-(ans-M))/M;因为ans也要计算上。数论上经常采用这种计数方法。0
}

ll CRT(int n,ll l,ll r){
    ll M=1ll;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(vis[i]){
            M*=m[i];
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(vis[i]){
            ll x,y;
            ll Mi=M/m[i];
            exgcd(Mi,m[i],x,y);
            x=(x+m[i])%m[i];
            ans=(ans+quick_mu(quick_mu(Mi,x,M),a[i],M)+M)%M;
        }
    }
    return count(M,ans,r)-count(M,ans,l-1);
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int cs=1;cs<=T;cs++){
        ll n,l,r;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&l,&r);
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
        }
        m[n]=7,a[n]=0,vis[n]=1;
        int up=1ll<<n;
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<up;i++){   //这块记得从0开始。
            ll tmp=1,cnt=0;
            for(int j=0;j<n;j++){
                if((i&(1ll<<j))) vis[j]=1,cnt^=1;
                else vis[j]=0;
            }
            if(cnt) ans-=CRT(n+1,l,r);
            else ans+=CRT(n+1,l,r);
        }
        printf("Case #%d: %lld\n",cs,ans);
    }
    return 0;
}