拉格朗日插值法

1、理解

对于三点$(x_1,y_1)$，$(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$,

假设过每一个点的都是二元函数，则对于$(x_1,y_1)$，可以假设该二元函数通过点$(x_1,1)$，而对于另外两个点则是$(x_2,0)$，$(x_2,0)$。由此可以确定第一个二元函数$f_1(x)$，以此类推过这三个样本点可确定三个二元函数$f_2(x)$和$f_3(x)$。则

$f(x)=y_1\ast f_1(x)+y_2\ast f_2(x)+y_3\ast f_3(x)$

2、进阶

更一般地，我们假定一个函数$f_i(x_j)$，由上分析可知，
当$i\ne j$时，$f_i(x_j)=0$；当$i=j$时，$f_i(x_j)=1$；那么若我们构造
$$f_1(x)=\frac{(x-x_2)\ast (x-x_3)}{(x_1-x_2)\ast (x_1-x_3)}$$
进一步地，有
$$f_i(x)=\prod _{j\ne i}^{1\le j\le 3}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}$$
因此，最终
$$f(x)=\sum _{i=1}^3{y}_i\ast f_i(x)$$
参考自

https://www.zhihu.com/question/58333118