11.目标和

给定一个非负整数数组，a1, a2, ..., an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例 1:

输入: nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出: 5
解释: 

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

注意:

1. 数组的长度不会超过20，并且数组中的值全为正数。
2. 初始的数组的和不会超过1000。
3. 保证返回的最终结果为32位整数。

 

几个星期前做这题的时候，我确信只能用搜索来解决。

因为这道题它要把数组所有元素都用上，

因为这题我当时确实想不到怎么拆分成一个个小问题

dp[n]代表目标和为n的方案个数？

算出【1,1,1,1,1】目标和为n-1的方案个数，和算出目标和为n的方案个数有什么关系吗？

 

后来在动态规划又看见它，出于好奇我看了看别人是怎么做的

他们没有直接开始做，而是把问题转化一下，使得动态规划成为可能

 

1、转化为dp问题：

设数组为s（num），记和为num。

记目标和为tar

由题目我们可以知道，有的元素前加正号，有的加负号，这些元素加上符号后总和为目标值tar

把所有加正号的元素归入数组s（正），其和为p

把所有加负号的元素归入数组s（负），注意我们还没加负号，s（负）里面的元素还是正的。其和为p

我们可以知道：

①s（正）+s（负）=s（num），所以 p+q=num

②s（正）-s（负）=tar，所以 p-q=tar

③综合：2p=tar+num（p为整数，所以tar+num必须为偶数！）

tar和num已知，只要求出s（num）里面有多少个子集的和为p，就有多少种方案

 

绕来绕去，好像又绕回求目标和了，好像只是从求tar变成了求p而已，好像还是没有什么变化啊。

但是！求tar要把数组元素都用个遍，求p只要从数组里选几个元素就行了，不一定都用一遍

 

 

2、动态规划求解

题目转化为：给定一个正整数数组 nums。从中选取若干元素（不重复），使得元素和为p。求选取元素的方法和

 

思路：

①总思路

dp[n]代表凑出n的方案数量。

给nums[0]，看看能凑出什么数，再给nums[1]看看。。。

最后把nums数组里面的元素都给出去完，题目也就解出来了。

 

②如何表示凑数字？

设c（m）是已知凑出数字m的方法，n是nums里面的元素

那么，c（m）=c（m-n）+n

注意，如果c（m）=c（m-n）+c（n）可能会导致重复利用元素：

比如数组[1,2,5]

c（3）=1+2，c（2）=2

如果说c（5）=c（3）+c（2），那么很明显，数组里面的元素2被用了两次

 

③如何知道能凑出什么数字？

假设dp[N],nums元素n，

由②我们知道c（m）=c（m-n）+n,且c（m-n）方案个数已知

那么很明显，在加上n的情况下，m有dp[m-n]种凑法，即dp[m]+=dp[m-n]

 

现在只探索了怎么凑出m，但是实际上一定就能凑出m？一定只有m被凑出来？

数字 n~N ，都有可能被凑出来。我们需要遍历dp[n]~dp[N]

 

④如何遍历？

接上③

不就是从dp[n]遍历到dp[N]嘛，有什么可说的呢？

我当时也是这么想的，结果出了大错，计算重复了！

为什么？从因为c（N）很可能由c（n）凑出的！

举个栗子：

数组[1,2,3,4,5]

s（5）=s（1）+4，s（9）=s（5）+4

发现了什么？元素4被用了两次！

即s（9）=s（5）+4这种情况，包含4+4+s（1）这种，且这种情况是不对的，因为4被用了两次

 

说到这里，算法的基本思路都说完了

 

 

3、例题

数组nums[1,2,3,4,5]，从里面不重复，随机挑选若干元素，使得和为9

（这题我在https://blog.youkuaiyun.com/mine_song/article/details/70216562?utm_source=copy上看的，选择自己分析一遍）

 

定义dp[10]（即0~9），dp[n]为凑出n的方案个数，c（n）为已知凑出 n 的方案

dp[n]初始为0

①dp[0]:0无论如何都凑得出，记为1；

②1:当只有1时，

dp[9-1] ,dp[8-1] 。。。。 dp[1-1] 都是0，不写了

dp[1]+=dp[1-1],dp[1]=1;

dp=[1,1,0,0,0,0,0,0,0,0]

 

③1,2：元素1已经在上面用过了，所以只看元素2：

同上，由于dp[9-2] , dp[8-2] 。。。 dp[4-2] 都是0，所以我不写

dp[3]+=dp[3-2],dp[3]=1;

dp[2]+=dp[2-1],dp[2]=1;

dp=[1,1,1,1,0,0,0,0,0,0]

 

③1,2,3：元素1,2已经用过，看元素3：

dp[9-3] , dp[8-3] , dp[7-3] 都是0，不写

dp[5]+=dp[5-3],dp[5]=1;

dp[4]+=dp[4-3],dp[4]=1;

dp[3]+=dp[3-3],dp[3]=2;

dp=[1,1,2,1,1,1,0,0,0,0]

 

 

据此一路分析下去就把答案解出来了

 

 

代码：

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int s) {
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<nums.length;i++)
            sum+=nums[i];
        if(s>sum||(sum+s)%2!=0)
            return 0;
        int t=(sum+s)/2;
        int[] dp=new int[t+1];
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            for(int j=t;j>=nums[i];j--){
                dp[j]+=dp[j-nums[i]];
            }
        }
        return dp[t];
    }
}