简析区间DP

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本文详细介绍了区间动态规划的概念、实现方式及应用案例。首先定义了区间DP的基本思想，并给出了一种通用的实现框架。随后，通过两个具体的实例——石子归并与石子合并问题，深入浅出地解释了如何利用区间DP解决实际问题。最后，展示了如何通过巧妙的数据结构转换，处理更复杂的变化形式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一.什么是区间DP?

顾名思义：区间dp就是在区间上进行动态规划，求解一段区间上的最优解。主要是通过合并小区间的最优解进而得出整个大区间上最优解的dp算法。

二.伪代码：

for (int len = 2 -> n)											//枚举长度
{
	for (int i = 1 -> n-len+1)									//枚举起点
	{
		int end = i+len-1;
		for (int j = i -> end)									//枚举分割点
			dp[i][end]=max(dp[i][end],dp[i][j]+dp[j+1][end]+something);
	}
}

三.线性区间DP

例题：石子归并

传送门

DP方程式：

dp[i][end] = min(dp[i][j]+dp[j+1][end])+sum[end]-sum[i-1];

第i堆到第end堆的合并的最小分数可以看做是：

最小的（左堆最小分数+右堆最小分数+合并分数）

code:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 0x3f3f3f3f
int s[110],sum[110],dp[110][110],
n;

int main() {
	cin >> n;
	memset (sum,0,sizeof sum);
	memset (dp,MAXN,sizeof dp);
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> s[i];
		sum[i] = sum[i - 1]+s[i];	//重量，即分数
		dp[i][i] = 0;
	}
	for (int len = 2; len <= n; len++)	//枚举长度
	{
		for (int i = 1; i <= n-len+1; i++)	//枚举起点
		{
			int end = i+len-1;
			for (int j = i; j <= end; j++)	//枚举分割点
				dp[i][end]=min(dp[i][end],dp[i][j]+dp[j+1][end]+sum[end]-sum[i-1]);	//寻找最小值 
		}
	}
	cout << dp[1][n];
	return 0;
}

四.变式:

例题：石子合并

传送门

很明显，本题是上题的进化版，无论选择哪个断点，都有可能是最优解，~~甚至是最烂解~~ 。然而这并不重要，因为我们可以将它转化为线性，通过开两倍数组解决这个问题。

code:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define MAXN 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int s[410],sum[410],dp[410][410],
n,ans;

int main() {
	cin >> n;
	memset(sum,0,sizeof sum);
	memset(dp,MAXN,sizeof dp);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> s[i];
		sum[i] = sum[i - 1]+s[i];
		dp[i][i] = 0;
	}for (int i = n+1; i <= 2*n; i++) {		//环状转化为线性 
		s[i] = s[i - n];
		sum[i] = sum[i - 1]+s[i];
		dp[i][i] = 0;
	}for (int len = 2; len <= n; len++) {
		for (int i = 1; i <= 2*n-len+1; i++) {
			int end = i+len-1;
			for (int j = i; j <= end; j++)
				dp[i][end] = min(dp[i][end],dp[i][j]+dp[j+1][end]+sum[end]-sum[i-1]);
		}
	}ans = MAXN;
	for (int i = 1; i <= n; i++)		//寻找最小值 
		ans = min (ans,dp[i][i+n-1]);
	cout << ans;
	return 0;
}