牛客多校(一)F.Random Point in Triangle

最新推荐文章于 2024-08-26 23:28:58 发布

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本文探讨了在三角形ABC中随机选取一点P，并通过P点与各顶点构成的三角形来求解面积期望的问题。提出了三种解决思路，包括强行二重积分法、利用三角形重心性质的方法以及几何作图法。最终给出了一种简洁的计算公式。

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题目链接：F.Random Point in Triangle

题目大意：在三角形ABC中随机的选取一点P，连接P与各个顶点构成三角形ABP,ACP,BCP。需求出一个期望 $E=max(S_{ABP},S_{ACP},S_{BCP})$ ，其中 $S_{XYZ}$ 为三角形XYZ 面积。程序输出 $36\times E$ ，结果一定为整数。

思路（一）：强行二重积分(目前还不太会)

思路（二）：构造三角形ABC，其中G为三角形ABC重心。

由重心的性质

$\frac{AG}{GF}=\frac{2}{1}=......$ (其他线段也一样)
$S_{ABG}=S_{ACG}=S_{BCG}=\frac{1}{3}S_{ABC}$

所以P点的选择只能使三角形面积的期望 $\frac{1}{3}S_{ABC}<E(S)<S_{ABC}$ ,经尝试得到系数为22

即 $36E(S)=22\times \frac{1}{2}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ 。

思路（三）：来自大神的几何作图

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
typedef long long ll;
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+10;
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll lcm(ll a,ll b){return a/gcd(a,b)*b;}
int main()
{
	ll x1,x2,x3,y1,y2,y3;
	while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3)){
		 ll ans=abs((x2-x1)*(y3-y1)-(x3-x1)*(y2-y1))*11;
		 printf("%lld\n",ans );
	}
	return 0;
}

！！！！！！积分做法一定要搞懂！！！！！！