计算机算法和算法复杂度

计算机算法

定义：

指基于特定的计算模型，旨在解决某一信息处理问题而设计的一个指令序列。

算法的演变：

实际应用问题--抽象数学描述---抽象关系描述与表达（建模）---算法的输入（input）与输出（output）的确定----算法步骤的描述---算法的确定性和可行性分析---算法的有穷性（finiteness）和确定性（correctness）分析---算法的退化（degeneracy）和鲁棒性（robustness）分析----算法的重用性和可移植性分析

 

算法效率计算

算法的4大特性：

可计算性

难解性

计算效率（可解、非不可解和难解）

数据结构（以“数据”这一信息的表现形式为研究对象，旨在建立支持高效算法的shuj数据信息处理策略、技巧和方法）

算法复杂度度量方法

1.时间复杂度（timecomplexity）度量

执行时间与输入规模之间的一个函数。y:执行时间  x:输入规模  -----表现形式T(n)  ：时间复杂度

输入规模：用以描述输入所需的空间规模。

单理解为算法中各条指令的执行时间之和。在图灵机（Turing Machine ,TM）和随机存储机（Random Access Machine ,RAM）等计算模型中，指令语句均可分解为若干次基本操作。T(n)可表示为 算法所执行基本操作的总次数。

2.渐进复杂度分析（asymptotic analysis）

 

实现同一问题的不同算法之间不同规模之间执行时间的比较分析。------表现形式：T(n)、大O记号（big-o notation）.

基于大O记号、环境差异、基本操作等因素的综合分析。

3.空间复杂度（space complexity）

空间复杂度主要指算法存储空间性能指标，即算法占用储存空间的多少。 可用类似时间复杂度的相关符号描述。

算法复杂度分析

1.常数时间复杂度算法 o(1) [constant-time algorithm]

实例： 常规元素的选取问题[任意三个元素排序，输出非极端元素]

分析：输入---输入三个元素，三次操作o（3）-----比较三个元素，最多三次操作o（3）-----输出非极端元素，一次操作o（1）----输出。

计算： T（n） = o（3）+o（3）+o（1）= o（7） = o（1）

2.对数多项式时间复杂度算法o（logn） [polylogarithmic-time algorithm]

实例： 对于任意非负整数，统计其二进制展开中位数1的总数。

分析：输入-- 输入计数器d, 非负整数n----d=0，通过二进制位的与运算，检查你的二进制展开的最低位,是1则累计到d中----输出计数器d---输出        

计算：o（1+[log2 n]） = o （[log 2  n]） = o（log2  n）

3.线性时间复杂度o（n） [ linear-time algorithm]

实例： 计算给定n个整数的总和。

分析：输入-- 输入累计器sum, 整数n----sum=0,通过数组元素求和算法（循环迭代），累计sum------输出sum--------输出        

计算：o（1）+ o （1）* n  = o（n+1）  = o（n）

4.多项式时间复杂度o（polynomial(n)） [ polynomial-time algorithm ]

定义：运行时间可以表示为和度量为T(n) = o(f(n))的形式。例如：f(n) = 2[n]  (2的n次幂)等

5.指数时间复杂度  [ exponential-time algorithm ]

实例：在禁止超过1位的位移运算的前提下，对任意非负整数n,计算幂

分析：迭代运算

_int64 power2BF_I (int n)   //幂函数算法（蛮力迭代版） 输入参数 n (n>=0)
{
    _int64 pow = 1 ;        //o(1) :累积器初始化为2的零次幂
    while (0<n--)          //o(n) :  迭代n轮 
    pow<<=1 ;              // o(1) : 将累积器翻倍
    return pow ;          //o(1) : 返回累积器
}                         //o(n) =o(2^r) ,r 为输入指数n的比特位数

计算：o（n）= o（2^r）

注：

非有效算法：不指定运行指数量级的指数复杂度算法无法真正应用于实际问题中，故此称为非有效算法。

难解问题：不存在多项式复杂度算法的问题。

复杂度层次

典型的复杂度层次:

o(1)、o(log* n) 、o(loglogn)、o(logn)、o(sqrt(n))、o(n)、o(nlog*n)、o(nloglogn)、o(nlogn)、o(n^2)、o(n^3)、o(n^c)、o(2^n)等。