图像的傅立叶变换-matlab图像处理第18期(附完整代码)

图像的傅立叶变换

目的

1. 掌握二维 DFT 变换及其物理意义
2. 掌握二维 DFT 变换的 MATLAB 程序
3. 空域滤波与频域滤波

原理

1. 应用傅立叶变换进行图像处理

傅立叶变换是图像处理中的一项基础工具，广泛应用于图像增强、复原、压缩和噪声去除等任务。傅立叶变换能够将图像从空间域转换到频域，揭示图像的频率成分。频域中的低频成分通常对应图像的平滑部分，而高频成分则代表图像的细节部分。傅立叶变换是线性系统分析的重要工具，对于解决大多数图像处理问题非常有帮助。

2. 傅立叶（Fourier）变换的定义

对于二维信号 ( f(x, y) )，其傅立叶变换定义为：
$$F(u,v)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-j2\pi (ux+vy)}dxdy$$
傅立叶逆变换为：
$$f(x,y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(u,v)e^{j2\pi (ux+vy)}dudv$$

对于离散二维信号，离散傅立叶变换（DFT）为：
F ( u , v ) = ∑ x = 0 M − 1 ∑ y = 0 N − 1 f ( x , y ) e − j 2 π ( u x M + v y N ) F(u, v) = \sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) e^{-j 2 \pi \left(\frac{ux}{M} + \frac{vy}{N}\right)}