洛谷 P1613 跑路 ( 最短路+倍增）题解

本文针对洛谷P1613问题，介绍了如何利用空间跑路器特性，通过倍增算法优化最短路径求解过程，实现从起点到终点的最短时间计算，特别适用于距离为2的幂次方的场景。

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题目来源：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1613

题目描述：

题目描述

小A的工作不仅繁琐，更有苛刻的规定，要求小A每天早上在6：00之前到达公司，否则这个月工资清零。可是小A偏偏又有赖床的坏毛病。于是为了保住自己的工资，小A买了一个十分牛B的空间跑路器，每秒钟可以跑2^k千米（k是任意自然数）。当然，这个机器是用longint存的，所以总跑路长度不能超过maxlongint千米。小A的家到公司的路可以看做一个有向图，小A家为点1，公司为点n，每条边长度均为一千米。小A想每天能醒地尽量晚，所以让你帮他算算，他最少需要几秒才能到公司。数据保证1到n至少有一条路径。

输入输出格式

输入格式：

第一行两个整数n，m，表示点的个数和边的个数。

接下来m行每行两个数字u，v，表示一条u到v的边。

输出格式：

一行一个数字，表示到公司的最少秒数。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1： 复制

说明

【样例解释】

1->1->2->3->4，总路径长度为4千米，直接使用一次跑路器即可。

【数据范围】

50%的数据满足最优解路径长度<=1000；

100%的数据满足n<=50，m<=10000，最优解路径长度<=maxlongint。

解题思路：

一开始，我还以为是裸的最短路呢，后来才知道，因为每秒可以跑2的k次方，k又是任意的，所以只要是距离2的整数次方的点都可以1秒直接到达，因为刚好是2的k次方，所以想想倍增好像也是这样，我们可以用一个数组dp【a】【b】【i】表示，从a到b 是否是2^i的长度，我们可以知道dp【a】【b】【i】=dp【a】【k】【i-1】&&dp【k】【b】【i-1】；然后如果对任意i dp【a】【b】【i】为1，那么说明dis【a】【b】的距离为1，因为每条边的距离为1，所以初始化读入a，b边，dp【a】【b】【0】=1，dis【a】【b】=1；然后就是floyd就可以了。。。

代码：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
//using namespace std;
const int  maxn=1e5+10;
int dp[55][55][65],dis[55][55],n,m;
int Min(int x,int y)
{
    return x<y?x:y;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(dis,inf,sizeof(dis));
    for(int i=1;i<=n;i++)dis[i][i]=0; 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        dis[x][y]=1;
        dp[x][y][0]=1;
    }
    for(int t=1;t<=64;t++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int k=1;k<=n;k++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    if(dp[i][k][t-1]&&dp[k][j][t-1])
    {
        dp[i][j][t]=1;
        dis[i][j]=1;
    }
    for(int k=1;k<=n;k++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    dis[i][j]=Min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
    printf("%d\n",dis[1][n]);
    return 0;
}